方差计算.ppt

第二节 方差 * 概率论 结束放映 * 概率论 方差的定义 方差的计算 方差的性质 切比雪夫不等式 课堂练习 小结 布置作业 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度. 一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)或Var(X)，即 D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 X为离散型， 分布率 P{X=xk}=pk 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 . 二、方差的计算 X为连续型，X概率密度f(x) 计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 例1 设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为 求D(X) . 解 由公式 因此,0-1分布 例2 解 X的分布率为 上节已算得 因此,泊松分布 例3 解 因此,均匀分布 例4 设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 解 由此可知,指数分布 三、方差的性质 1. 设C 是常数, 则 D(C)=0 ; 2. 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 4. D(X)=0 P{X= C}=1 , 这里C=E(X) 下面我们证明性质3 证明 若 X,Y 相互独立, 由数学期望的性质4得 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. 例6 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 若设 i=1,2，…，n 则 是n次试验中“成功” 的次数 下面我们举例说明方差性质的应用 . 解 X~B(n,p), “成功” 次数 . 则X表示n重努里试验中的 于是 i=1,2，…，n 由于X1,X2,…, Xn 相互独立 = np(1- p) E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) , 例7 解 于是 例如, 例8 解 由于 故有 四、切比雪夫不等式 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 证 我们只就连续型随机变量的情况来证明. 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在， 则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 . 例9 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)