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奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告 1
一、 奈奎斯特采样定理 1
1、 奈奎斯特采样定理说明 1
2、 信号的采样与恢复 1
3、 相关代码 3
4、 关于奈奎斯特采样定理的一些问题 5
二、 信号稀疏采样 5
1、 为什么要提出信号的稀疏采样 5
2、 压缩感知概述 6
3、 压缩感知基本概念 6
4、 压缩感知仿真 7
5、 压缩感知仿真程序 8
三、 总结 9
四、参考资料 10
奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告
奈奎斯特采样定理
奈奎斯特采样定理说明
采样过程所应遵循的规律,称、抽样定理。采样定理说明采样频率与之间的关系,是的基本依据。在进行模拟/数字信号的转换过程中,当大于信号中最高频率的2倍时,采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息,一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5~10倍采样定理又称。
信号的采样与恢复
结合实例,说明奈奎斯特采样定理与内插恢复的应用。
假设有模拟信号,其中。该信号波形及频谱如下图所示:
对信号以采样频率为进行采样,得到如下所示的离散时间信号,即序列,其中。
该序列的频谱如下:
由此可见,采样过程对原始信号的频谱有一定的影响。但是随着采样频率的逐渐增加,会使得采样信号的频谱与原始信号的频谱逐渐接近。
现在利用内插公式对采样得到的离散时间信号进行恢复。
定义内插函数为
则
根据上式,便可由采样得到的序列完整的恢复出原始信号。下面给出利用MATLAB计算的结果:
从上图可以看出,利用内插公式,完整地将原始信号恢复了出来。
相关代码
close all
clear all
clc
df=0.5;%频率分辨率
tp=1/df;%保证df所需的信号持续时间
t=linspace(0,tp,1024);%连续时间变量
f1=20;f2=50;%信号频率
fc=max(f1,f2);%信号最高频率
fs=2*fc;%采样率
ts=1/fs;%采样间隔
N=2^ceil(log2(fs/df));
n=1:N;
xa=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);%模拟信号
xn=cos(2*pi*f1*n*ts)+cos(2*pi*f2*n*ts);%模拟信号
plot(t,xa,r)
hold on
stem(n*ts,xn,b)
legend(模拟信号,采样信号)
title(模拟信号和采样信号)
xlabel(t),ylabel(x(t))
axis([0 tp/2 min(xa)-0.2 max(xa)+0.2])
figure(2)
subplot(211)
fftxa=fft(xa);
fa=0.5*(-length(t)/2:length(t)/2-1*fs/length(t));
plot(fa,fftshift(abs(fftxa)),r)%模拟信号频谱
title(模拟信号频谱)
xlabel(f/Hz)
subplot(212)
fftxn=fft(xn);
fn=0.5*(-length(n)/2:length(n)/2-1*fs/length(n));
plot(fn,fftshift(abs(fftxn)))%采样信号频谱
title(采样信号频谱)
xlabel(f/Hz)
xaa=zeros(1,length(t));
for tt=1:length(t)%计算采样内插值
xaa(tt)=0;
for n=1:N
xaa(tt)=xn(n)*(sin(pi*(t(tt)-n*ts)/ts)/(pi*(t(tt)-n*ts)/ts))+xaa(tt);
end
end
figure(3)
plot(t,xaa,b)
title(采样内插恢复信号)
xlabel(t/s),ylabel(x(t))
axis([0 tp/2 min(xaa)-0.2 max(xaa)+0.2])
关于奈奎斯特采样定理的一些问题
假设模拟信号为,用奈奎斯特频率对其采样,发现采样点处的取值均为零(如下图),因此用这些采样点是无法恢复原始信号的。
这也就是为什么实际中采用的采样频率要大于奈奎斯特频率的原因。此外,实际中我们处理的信号不可能是简单的正弦信号,因此遇到采样点均为零的情况几乎不可能,上述只是一个特例。
信号稀疏采样
1、为什么要提出信号的稀疏采样
首先考虑奈奎斯特采样定理的几点缺陷:
采样率不得低于信号最高频率的两倍,这使得硬件系统面临很大的采样速率压力;
在压缩编码过程中,为了降低存储、处理和传输的成本,大量变换计算得到的小系数被丢弃,造成了数据计算和内存资源的浪费。
综合上述两点,人们便提出这样的问题:能否利用其它变换域描述信号,建立新的信号描述和处理理论框架,
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