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一、数形结合思想 数形结合的思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面,两方面相辅相成,互为补充,利用数形结合的思想来解题,能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立关系,从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化,在本章的学习中借助于Venn图及数轴来分析集合间的内在联系,是学好集合的重要方式,同时也是平时考查的一个热点. 【示例1】 (2009·苏州中学月考)设A={x|1<x<2},B={x|x>a},若AB,则a的取值范围是 . [解析] ∵AB,根据数轴可知a≤1. [答案] a≤1 [领悟] 利用Venn图和坐标轴,借助于几何图形的直观性、以“形”助“数”,形象、直观、方便快捷地解决集合 运算及有关问题. 二、等价转化思想 化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现,本章中在进行集合的运算时常利用数轴和Venn图使问题直观化. 【示例2】 (2009·丹阳中学一模)设p:|4x-3|≤1,q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 . [解析] 由题意知|4x-3|≤1?-1≤4x-3≤1, 故P的解集A=[ ,1],q的解集B为[a,a+1]. 又p是q的充分不必要条件,故AB, [答案] [0, ] [领悟] (1)把充要关系判断问题转化为集合间的关系,若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. (2)由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化,它们之间存在着密切的联系,故在判断命题的条件的充要性时,可考虑“正难则反”的原则,即在正面判断较难时,可转化为应用该命题的逆否命题进行判断. 三、分类讨论思想 分类讨论思想是将一个较为复杂的数学问题分解(或分割)成若干基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.分类时分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,优化解题思路,降低问题难度.本章中在解决集合间包含关系问题时,常需按被包含的集合是否为?进行讨论. 【示例3】 (2009·盐城模拟)已知集合A={x||x|≤3},B={x|m-1<x<2m+1,m∈R}. (1)若m=3,求(?RA)∩B; (2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.0 [解] 显然,集合A={x|-3≤x≤3}. (1)当m=3时,集合B={x|2<x<7}. ∴?RA={x|x<-3或x>3}, 因此(?RA)∩B={x|3<x<7}. (2)∵A∪B=A,∴B?A. ①若B=?,则m满足m-1≥2m+1, 解得m≤-2. ②若B≠?,则 解得-2<m≤1. 综上,实数m的取值范围是{m|m≤1}. [领悟] 分类讨论要注意“起点”的寻求和“层次”的划分,做到“起点”讨论合理、自然,“层次”划分明确、清晰. 1.(2008·山东高考改编)满足M?{a1,a2,a3,a4},且M∩ {a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 . 解析:集合M必须含有元素a1,a2,并且不能含有a3,故M={a1,a2}或{a1,a2,a4}. 答案:2 2.(2009·四川高考改编)已知a,b,c,d为实数,且 cd,则“ab”是“a-cb-d”的 条件. 答案:必要不充分 解析:∵cd,∴-c-d,ab, ∴a-c与b-d的大小无法比较; 当a-cb-d成立时,假设a≤b,又-c-d, ∴a-cb-d,与题设矛盾,∴ab. 综上可知,“ab”是“a-cb-d”的必要不充分条件. 3.(2009·辽宁高考)下列4个命题: p1:?x∈(0,+∞),( )x( )x; p2:?x∈(0,1),log xlog x; p3:?x∈(0,+∞),( )xlog x; p4:?x∈(0, ],( )xlog x. 其中的真命题是 . 解析:当x∈(0,+∞)恒有( )x( )x,故p1为假; 当x= 时,log log ,故p2为真; 当x= 时,( ) log ,故p3为假; 由图象可知,当x= 时,( ) log
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