张量1-1.ppt

混合张量 l个上标k个下标的nk+l 个数， 坐标变换时，符合变换规律： 则称其为k阶协变，l阶逆变混合张量；－－张量的定义 度量张量 1。设： 则： 称gij 为度量张量. 证明：由 有 2。度量张量非退化条件det[gij ] ≠0 对任一非零向量x≠0,总可以找到一个非零向量y,使得（x·y）≠0; 3。度量张量系对称的； 逆变度量张量 gij 非退化，则 [gij ] 非奇异，其逆存在，记为：gij, [gij ]-1 = gij,称逆变度量张量； 证： 两边同乘进行指标缩并，得两边同乘 glk 缩并 由 度量张量将逆变即对协变基矢分解 张量的实体表示法（并矢表示法）－将张量表示成各个分量与基矢量的组合 如： 度量张量 向量的坐标表示 1。V的逆变分量 2。V的协变分量 任意两向量 如令U=V 则得长度的平方|V|2 gij与长度有关的量－度量张量的由来； 正交坐标中： 所以正交坐标中，V只有一种分量； 张量代数 1。张量相加 张量在同一坐标系中的分量一一相等； 2。张量的相加； 结构相同的张量才能相加 3。张量乘法 可将任意的张量连乘，不要求他们有同样的结构，但必须做出各参与相乘张量的次序。 坐标的编排：先写第一个张量的下标，再写第二个张量的下标，并以同样的方法写上标。 4。张量的缩并 一张量有上指标和下指标，将其中一个上指标和下指标取相同的值而其余指标不变， 缩并后的新张量较原来张量降两阶。如 5。张量的商法则 设有一组有序数 （不知是否为一张量）。如果有任意 张量 与它缩并后，得到一个张量 ，那么 也是一个张量。 由 轴 轴 间的关系 由定义： 有： 有： 说明： 由于具有变换的特性，所以只要知道某一坐标系中的张量，则它在所有坐标系中的张量就全知道了。 在特殊情况下，如果在一个坐标系下的所有分量都为0，则在所有坐标系下所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助。 （13）张量性质 张量的运算方法与矢量相类似。 相等：两个张量对应的分量相等时，它们相等。 相加：两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量。（相应分量相加或相减定义运算结果）。 作业： 1）用指标记法（求和约定）记2-2； 2）在三维空间计算δijδij、 δijδikδjk； 3）三维空间中，AmiBnj有34=81个数； 求：m=n项的和。 张量代数 1。张量相加 张量在同一坐标系中的分量一一相等； 2。张量的相加； 结构相同的张量才能相加 3。张量乘法 可将任意的张量连乘，不要求他们有同样的结构，但必须做出各参与相乘张量的次序。 坐标的编排：先写第一个张量的下标，再写第二个张量的下标，并以同样的方法写上标。 4。张量的缩并 一张量有上指标和下指标，将其中一个上指标和下指标取相同的值而其余指标不变， 缩并后的新张量较原来张量降两阶。如 5。张量的商法则 设有一组有序数 （不知是否为一张量）。如果有任意 张量 与它缩并后，得到一个张量 ，那么 也是一个张量。 由 两边同乘 说明服从张量变换规律 1.5.4 张量（Tensor） 对于直角坐标系 ，有九个量 按照关系 变换成 中的九个量 则此九个量定义一个二阶张量。 将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数） 到此为止，我们已有四种张量记法： 不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法 张量方程：如前所述，一个张量方程在一个坐标系中成立，则在所有坐标系中都成立。 乘法： 张量与标量乘积构成一个同阶的张量。 张量与张量相乘，构成一个新的张量，其阶数是原张量的阶数之和。 缩并：三阶张量，如果将两个指标赋给相同的字母，即成为一个一阶张量。（变换规则可证明） （14）各向同性张量 定义：一个张量的分量在所有坐标系中都具有相同的值，则它是各向同性的。如标量（零阶张量） 1.4 符号（交错张量） 4. 张量的定义 1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系） 旧坐标系： 新旧基矢量夹角的方向余弦： 单位基矢量： 新坐标系： 单位基矢量： ei’ =Aii’ ei (i’ =1,…,n)（老坐标表示新坐标） ei=Ai’i ei’ (i =1,…,n)（新坐标表示老坐标） 设 X为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为 1.5.2 标量（纯量 Scalar） 在坐标变换时其值保持不变，即满足 如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 1.5.3 矢量（V