弦振动分析王文璞.doc

辽宁工程技术大学力学与工程学院 振动力学综合训练（三） 题 目 乐器弦振动问题分析 班 级 工力12级2班 姓 名 李大为 刘怡 李凤飞 王文璞 王先明 指导教师 张智慧 成 绩 辽宁工程技术大学 力学与工程学院制 目录 第一章 综合训练要求 1 第二章 模型的建立及振动方程的求解 2 第三章 影响弦振动物理量分析 6 3.1.弦的长度对其振动的影响 6 3.2.弦的张力对其振动的影响 7 3.3 弦的粗细对其振动的影响 9 第四章 结论与分析 11 参考文献 ........................................................................................12 第一章 综合训练要求 进行以下规定内容的建模、计算与分析工作,具体思考如下问题: 为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出的音调（声音的频率）不同？ 在演奏时依靠什么来改变弦的音调？ 3.为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音？ 教学过程：教师布置任务，学生课外查资料、计算、分析，形成材料，集中讨论、答辩、教师总结。 成果形式：撰写计算分析报告并进行分组汇报。 吉他弦图片 第二章 模型的建立与振动方程的求解 1.横波运动分析 由于弦乐器是靠弦的振动发声的，而弦振动产生的声波属于横波，因而，要了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。设弦上有一向右传播的横波，如图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。当波沿工轴方向前进时，弦上各质点沿y轴上下振动，其位移可表示为 ① 图1 横波及其质点的运动示意图 其中A为振动的振幅,k为波矢量，ω为圆频率,ф为初位相。弦上各质点振动的速度为 ② ②式表明,各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。图1标出了部分质点振动的速度,其中A、C、E处质点振动的速度最大（ωA),而B、D处质点振动速度最小(0).显然,弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。 为得到波动沿弦传播时波速的表达式,现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分析其受力情况,如图2所示.相对于弦内张力Tl,弦的重力可以忽略.此时,两个张力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得 ③ 图2 波峰附近绳子的受力分析 ③式中产为弦的线密度(即单位长度弦的质量),这段弦的加速度a,可由下式得到 ④ 由于波矢量 ,波速 ,所以 故这段弦在波峰D处对应的加速度为 ⑤ 进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为 ⑥ 现从受力角度讨论弦的回复力 .因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力,故 ⑦ 由于 ,角度应非常小.按照小角近似条件应有,代换(7)得,由于可表示弦在处的斜率,而这段弦的振动方程为,故按斜率公式可得 ⑧ 由于口很小,按照小角近似理论,，于是⑧式 变为，代入回复力的表达式即得 ⑨ 现比较⑥、⑨两式可得 于是弦上传播的横波的波速表达式为 ⑩ 2.弦模型中的驻波 以上讨论了正弦波的振动与传播规律.对于实际的弦乐器,因弦的两端固定,当弦被拨动时振动传播到弦两端会产生反射,而反射波和入射波在一定条件下叠加会