弹塑性力学3弹性力学解题方法.ppt

第3章 弹性力学解题方法 按位移求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题 平面问题和应力函数 半逆解法 广义胡克定律 1678年，R. Hooke发表了固体受力后应力和应变关系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力” 3-1 按位移求解弹性力学问题 弹性力学的一般问题中，共包含15个未知函数，将用15方程来求解。 对于各向同性的弹性体： 3个平衡微分方程； 6个几何方程（微分方程）； 6个物理方程（广义胡克定律）。 边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题） 3-2 按应力求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题时，取6个应力分量作为基本未知量。 3-3 平面问题和应力函数 平面问题 * 理学院力学与工程科学系 * 各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。 Lamé 弹性常数 弹性力学问题解法的分类： 取位移作为基本未知量。 ——位移法 取应力作为基本未知量。 ——应力法 按位移求解弹性力学问题时，取u,v,w作为基本未知量。 几何方程 物理方程 消去应变 平衡方程 消去应力 Lamé位移方程 力的边界条件 消去应力 按位移求解弹性力学问题 优点：未知函数的个数比较少，即仅有三个未知量u,v,w。 缺点：必须求解三个联立的二阶偏微分方程。 按位移求解问题是普遍适用的方法，特别是在数值解中得到了广泛的应用，例如在有限元法，差分法等数值计算方法中，得到了很好的应用。 例1 设有半空间体，单位体积的质量为ρ，在水平边界上受均布压力q的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，假设在z=h处z方向的位移w=0。 q h 解： 由于载荷和弹性体对z轴对称，并且为半空间体 可以假设 体积应变 代入Lamé 位移方程 力的边界条件 位移边界条件 位移分量 应力分量 变形协调 方程 物理方程 消去应变 平衡方程 改变形式 相容方程 体积力为零或为常量 推导参照教材 应力第一不变量Θ是调和函数 左式两边分别作Laplace运算 应力分量是双调和函数 按应力求解弹性力学问题 优点：边界条件比较简单，并且得到的应力表达式在大多数具体问题中比位移表达式简单。 缺点：未知函数较多，所要求解的二阶偏微分方程比较复杂。 按应力求解比按位移求解一般来说容易些。 但就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解更具有普遍性。 对于实际问题，适当的选择求解方法。 平面问题的分类： ①平面应力问题 ②平面应变问题 平面应力问题 构件几何形状特征：薄板 外力:平行于中面，沿厚度均匀分布，表面不受外力作用。 x y z y z o 表面面力边界条件： 由于薄板厚度很小，应力分量均匀分布 中面 平面应变问题 构件几何形状特征： 具有很长纵向轴的柱体 纵向轴 横截面的大小和形状沿轴线不变；外力与轴线垂直并且沿轴线不变；主体两端受固定约束。 z方向上位移 位移发生在oxy平面内 根据几何方程 根据物理方程 应力函数 在平面问题中，引进应力函数的概念，往往使求解问题变得简单。 无体力存在时 假定 平衡方程将自然满足 只需求解以应力函数表示的协调方程 平面应力问题： 变形协调方程 边界条件 平面问题归结为求解满足双调和方程和给定边界条件的函数 例2 图示很长的矩形柱体，材料的比重为γ，将其放入形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数的形式为 试求各应力分量、应变分量以及位移分量。 h a a x y o 解： 根据Airy应力函数可得 应力边界条件 刚性槽的条件 针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数； 然后用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。 如能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答，如不能满足全部条件，则需另外假定，重新求解。 由于根据已有解或经验作了一定假设，使得问题的求解过程得以大大简化。 3-4 半逆解法 例3 图示立柱（厚度为单位厚度），在其侧面上，作用有均布剪力τ，试用半逆解法求其应力分布规律。 h x y o 解： 假定纵向纤维互不挤压 代入 上式对于y取任何值均应成立 对应力分量无影响 边界条件： 在x=0处， 在x=h处， （主要边界条件，需精确满足） 在y=0处， h x y o 在y=0处， （次要边界条件，使用圣维南原理建立） 应力分量： h x y o x y 1 l l 图示梁对应的边界条件： M M —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 (1) 例:矩形梁的纯弯曲 x y 1 l l M M 常数 d 与弯矩 M 的关系： (1) (2) 此结果与材力中结果相同. * 理学院力学与工程科