弹性力学PPT-03平面问题的直角坐标解答白.pptx

第三章 平面问题的直角坐标解答—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。要点主 要 内 容§3-1 多项式解答§3-2 位移分量的求出§3-3 简支梁受均布载荷§3-4 楔形体受重力和液体压力§3-5 级数式解答§3-6 简支梁受任意横向载荷§3-1 多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的力学问题。——逆解法1. 一次多项式其中：a、b、c 为待定系数。（1）（2）检验φ(x,y) 是否满足双调和方程：显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。§3-1 多项式解答（3）对应的应力分量：若体力：X = Y =0，则有：结论1：（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；（2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2. 二次多项式其中：a、b、c 为待定系数。（1）检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数 )x2ay2c2c2a（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)二次多项式对应于均匀应力分布。结论2：xy例：试求图示板的应力函数。3. 三次多项式（1）其中: a、b、c 、d 为待定系数。（2）检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有(可作为应力函数 )（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：X =Y = 0)三次多项式对应于线性应力分布。结论3：MllxMy1讨论：可算得：图示梁对应的边界条件：可见：—— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数 d 与弯矩 M 的关系：由梁端部的边界条件：(1)(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明：(1)组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。4. 四次多项式（1）检验φ(x,y) 是否满足双调和方程（2）代入：得可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：—— 应力分量为 x、y 的二次函数。（4）特例：（须满足：a + e =0）（多项式应力函数 的性质） 总结：（1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。（多项式应力函数 的性质） 按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？总结：（3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。（4） 问题：M以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？xhMl1y§3-2 位移分量的求出1. 形变分量与位移分量（1）形变分量由前节可知，其应力分量为：(a)(b)（2）位移分量平面应力情况下的物理方程：将式（b）代入几何方程得：(c)将式（a）代入得：式中：（2）位移分量为待定函数。(c)整理得：（仅为 x 的函数）（仅为 y 的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将式（c）前两式积分，得：(d)将上式代入式（d），得(f)将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：M（2）位移分量xhM1yl(f)式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。讨论：当 x = x0 =常数（1）—— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。—— 材力中“平面保持平面”的假设成立。横截面保持平面将下式中的第二式对 x 求二阶导数：（2）说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即——材料力学中挠曲线微分方程(f)2. 位移边界条件的利用（1）两端简支其边界条件：将其代入(f)式，有梁的挠曲线方程：将其代回(f)式，有(3-3)——与材力中结果相同h/2(f)h/2（2）悬臂梁边界条件由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不