循环分块矩阵的简单讨论.doc

专业代码：070102 学 号：080702010072 贵 州 师 范 大 学（本 科） 毕 业 论 文 题 目：循环分块矩阵的简单讨论 学 院：数学与计算机科学学院 专 业：信息与计算科学 年 级：2008级 姓 名：万 璐 指导教师：陈 震（副教授） 完成时间：2012年4月23日 循环分块矩阵的简单讨论 万璐 摘要:分块矩阵是线性代数中的重要工具，合适的分块方法可以解决解题过程中的实际问题。循环分块矩阵是分块矩阵的一种特殊形式，应用循环矩阵及循环分块矩阵的定义和性质，总结了循环分块矩阵方程的解法，循环分块矩阵非奇异的判定方法，讨论了循环分块矩阵逆运算的求法。 关键词:循环矩阵；循环分块矩阵；循环分块矩阵方程的解法；非奇异；循环分块矩阵逆运算 Abstract: Block matrix is an important tool in linear algebra, the appropriate method of partitioning can solve problems in solution process. Circular block matrices is the specific form of block matrix. Using the definition and quality of circular matrix and circular block matrix , summing up system of equation about circular block matrices, judging nonsingular of circular block matrix, discussing the method of solving inverse operation about circular block matrices. Keywords: Circular matrix; Circular block matrix; Equation about circular block matrix; Nonsingular; Inverse operation about circular block matrix 引言 设为数域上个数，则矩阵称为数域上阶循环矩阵，简记为. 循环矩阵是非常重要的一种特殊矩阵，在数字图像处理、信号处理、编码理论、计算机工程等现代科技应用中，经常会运用到以循环矩阵为系数的方程解决实际问题，近年来，人们又研究了R-循环矩阵。本文运用广义逆的定义及矩阵的相关性质给出以循环分块矩阵为系数的方程的两种解法，循环分块矩阵非奇异的判定和循环分块矩阵逆运算的简便算法，并由此给出R-循环分块矩阵非奇异的判定和逆的求法。 1. 循环分块矩阵及R-循环分块矩阵的定义 定义1 设为数域上阶矩阵，则阶矩阵 称为循环分块矩阵，简记为. 定义2 设为阶矩阵，且与可换，且具有下列形式的阶矩阵为R-循环分块矩阵，简记为 . 定义3 记为阶基本循环矩阵，简记为. 2. 以循环分块矩阵为系数的方程的解法 Moore-Penrose是针对矩阵给出的广义逆，由Moore-Penrose矩阵、的逆及相关引理，可求解以为系数的方程。 定义4 设矩阵，则满足以下矩阵方程组 的有唯一解，这个唯一解被称为的Moore-Penrose逆，简称的逆，记为. 引理1 设则矩阵方程有解为是对称矩阵的Moore-Penrose逆。 引理2 设，则矩阵方程有实对对称解其中为实对称矩阵的Moore-Penrose逆。 定理1 设且则矩阵方程存在阶循环分块矩阵解为阶实矩阵。 证明： 由引理1得矩阵方程有解，其中，记其中为阶实矩阵，则，由上式得方程组 (1) 令，由（1）式得 . 定理2 设满足定理1所给条件，并且，则矩阵方存在阶循环分块矩阵解其中为阶实矩阵。 证明：由定理1，矩阵方程有阶循环分块矩阵解，则.对此方程两边取转置，而且，则 即. 令并设则得. 3.循环分块矩阵非奇异的判别及逆的求法 3.1. 循环分块矩阵非奇异的判别 引理3 由则 引理4 的形式特征多项式为. 引理5 设矩阵则. 引理6 设分块多项式矩阵，其中分别满足引理4、引理5定义。经初等变换得，则是与的最大右公因式，且满足. 定理3 设，则非奇异是与的最大右公因式。 证明: 设是与的一个最大右公因式，则，其中为复数域上的多项式矩阵.使得.在中令非奇异，所以非奇异。于是，存在多项式矩阵，从而就有，所以的最大右公因式。 因为是与的最大公因式，所以存令则所以有，即循环分块矩阵非奇异。 推论