微分几何_陈维桓_第四章讲稿.doc

目 录 第四章 曲面的第二基本形式 50 § 4.1 第二基本形式 50 § 4.2 法曲率 52 § 4.3 Weingarten映射和主曲率 55 一、Gauss映射和Weingarten变换 55 二、主曲率和主方向 55 § 4.4 主方向和主曲率的计算 57 一、Gauss曲率和平均曲率 57 二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 59 三、第三基本形式 61 § 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 61 § 4.6 某些特殊曲面 64 一、Gauss曲率为常数的旋转曲面 65 二、旋转极小曲面 66 第四章 曲面的第二基本形式 本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss映射和Weingarten变换，主方向与主曲率，Dupin标形，某些特殊曲面 计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主方向与主曲率 § 4.1 第二基本形式 设为正则曲面，是单位法向量. 向量函数的一阶微分为 ， 二阶微分为 . 由于，再微分一次，得. 定义 二次微分式 (1.6) 称为曲面的第二基本形式(second fundamental form)，其中 ，， (1.4-5) 称为曲面的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度. 由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量一般都会改变. 第二基本形式与空间坐标系的选取无关. 对曲面作参数变换 (1.7) 在新的参数下， ，. 因此 . (1.10) 当时，，从而；当时，，从而. 在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi矩阵为 . 则 . (1.14) 从而 ， 即有 . (1.13) 例 求平面和圆柱面的第二基本形式. 解. (1) 对平面，，，所以. (2) 对圆柱面，，，. 因此 ， . □ 定理1.1 正则曲面是平面(或平面的一部分)，当且仅当的第二基本形式. 证明 “”平面的单位法向量是常向量，故. “” 由，，得. 同理有. 所以是常向量. 于是. 故. □ 定理1.2正则曲面是球面(或球面的一部分)，当且仅当的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：，其中是非零函数. 证明 “”不妨设球心为原点，半径为. 则，，. 从而 . “”由条件，，，(因为是独立的变量). 所以 ，. 又. 故 . (1) 同理有 . (2) 因为是三次以上连续可微的，. 于是 ， 即有. 由于线性无关，. 故是非零常数. 由(1)和(2)得 ，. 所以是常向量. 从而上的点满足球面方程 . □ 课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6 § 4.2 法曲率 设是曲面上过点的一条正则曲线，是的弧长参数，为点的曲纹坐标. 则的单位切向量为 . (2.3) 根据Frenet公式，的曲率向量 ， (2.4) 其中是的曲率. 设为的单位法向量，，则. 定义 函数 (2.6) (2.5) 称为曲面在点沿着切方向(即)的法曲率(normal curvature). 注 曲面上所有在点相切的曲线在点有相同的法曲率，并且在点这些曲线的曲率中心位于垂直于切方向的平面(的法平面)内的一个直径为的圆周上：曲率中心为 . 沿着曲线，有. 由于是弧长参数，因此在点成立 . 定义2.1 在曲面上对应于参数的点处，沿着切方向的法曲率为 . (2.8) 注 法曲率除了与点有关，还与切方向即比值有关. 但是与切向量的大小无关. 上面的定义不要求以为切向量的曲线以弧长为参数. 定义 曲面上过点的一个切方向与点的法线确定的平面称为由切方向确定的法截面. 法截面与曲面的交线称为该点的一条法截线. 定理2.1 曲面在点，沿切方向的法曲率等于该切方向确定的法截线在相应的有向法截面(以为平面的定向)中的相对曲率，即