微分几何第一章.ppt

1.2 向量分析 内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则 重点：链式法则 返回章首 1.2 向量分析-向量函数的极限 设 r(t) 是一个向量函数，a 是常向量，如果对任意的 e 0，存在 d 0，使得当 0 |t – t0| d 时，|r(t) – a| e 成立，则称 a 是 r(t) 当 t 趋向于 t0 时的极限，记为 , 或者记为 r(t)→a (当 t→t0) ． 一元向量函数是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) 的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的一元函数，叫该向量函数的分量函数． 返回章首 1.2 向量分析-向量函数极限的计算 这个定理表明对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限．这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限． 定理. 设 r(t) = (x(t), y(t), z(t))，a = (x0, y0, z0) ，则 当且仅当 返回章首 1.2 向量分析-向量函数的极限的性质 推论. （极限的运算性质）设当 t→t0 时，有 r(t) → a ，s(t) → b ，l(t) → c ，则我们有： r(t)±s(t) → a±b，l(t)r(t) → ca． r(t) ? s(t) → a ? b． r(t) ∧ s(t) → a ∧ b． 返回章首 1.2 向量分析-向量函数的连续性 如果当 t → t0 时有 r(t) → r(t0) 成立，则称向量函数 r(t) 在 t0 处连续；如果 r(t) 在它的定义域内的每一点都连续，则称 r(t) 是连续函数． 连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的． r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 在 t0 处连续的充分必要条件是每个分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在 t0 处连续． 返回章首 1.2 向量分析-一元向量函数的导数 显然，若 r(t) 在一点 t0 处可导，则它在该点处必定连续． 存在，则称向量函数 r(t) 在 t0 处可导，而该极限就叫 r(t) 在 t0 处的导数，记为 r (t0)．如果 r(t) 在它的定义域内处处可导，则称 r(t) 可导，此时 r (t) 叫 r(t) 的导函数（也简称导数）． 设 r(t) 是一元向量函数．如果极限 返回章首 1.2 向量分析-向量函数导数的性质 向量函数 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 的导数为 r(t) = (x(t), y(t), z(t))． 设 l 是普通函数，r、s、u 都是向量函数，则 (lr) = lr + lr； (r±s) = r ± s； (r ? s) = r ? s + r ? s； (r ∧ s) = r ∧ s + r ∧ s； (r,s,u) = (r,s,u) + (r,s,u) + (r,s,u )． 返回章首 可导的向量函数 r(t) 具有固定长度的充要条件是 r (t) 垂直于 r(t)． 可导的向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条件是 r (t) 平行于 r(t)． 1.2 向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数 返回章首 看证明 1.2 向量分析-一元向量函数的链式法则 定理. （一元向量函数的链式法则）设 r(u) 可微的向量函数，u = u(t) 是可微的普通函数，则复合函数 r(t) = r(u(t)) 也可微，并且 返回章首 1.2 向量分析-二元向量函数的偏导数 设 r(u,v) 是二元向量函数，如果极限 存在，则称它为函数 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处关于 u 的偏导数，记为 ru(u0,v0)；同样，我们可以定义关于 v 的偏导数 rv(u0,v0)． 二元向量函数是形如 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是普通的二元函数． 返回章首 1.2 向量分析-二元向量函数的微分 返回章首 设 r(u,v) 是二元向量函数，令 Dr = r(u0 + Du, v0 + Dv) – r(u0, v0). 如果存在向量 a、b 使 Dr = aDu + bDv + o[(Du)2 + (Dv)2 ]1/2, 则称 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处可微，而 aDu + bDv就叫 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处的微分，记为 dr(u0,v0) = aDu + bDv． r 的微分简记为 dr = aDu + bDv 或 dr = adu + bdv. 定理. 如果 r 是可微向量函数，则 dr = rudu + rvdv. 返回