微分方程(4-5).docx

第4节二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是 (9.18)其中是自变量的已知函数，且称为方程（9.18）的自由项.当时，称（9.18）为非齐次的，而对应的二阶齐次线性微分方程是(9.19)本节只讨论方程（9.18）和方程（9.19）的解的性质，而不涉及求解.定理9.1 如果已知方程（9.19）的两个解为和，则（9.20）也是方程（9.19）的解.其中是任意常数.证明首先由和是方程（9.19）的两个解得和将式（9.20）代入方程（9.19）验证.这就验证了式（9.20）是方程（9.19）的解.定理9.1指出的这个性质称为齐次线性微分方程的解的叠加原理.显然方程（9.19）的解（9.20）中含有两个任意常数，但是我们还不能说它就是方程（9.19）的通解.因为我们还不知道这两个任意常数是否互相独立.为止，我们引入函数的线性相关和线性无关概念.定义9.1 设和是定义在区间内的两个函数.如果存在两个不全为零的常数，使得在区间内恒有则称这两个函数在区间内线性相关.否则就称为线性无关.显然，要判断定义在区间内的两个函数是否线性相关，只要看它们的比值是否为常数.如果是常数，就说明它们线性相关；如果不是常数，即比值随的变化而改变，就说明它们线性无关.例如，是两个线性相关的函数.因为而是两个线性相关的函数.因为.现在，我们可以给出齐次方程（9.19）的通解的结论了.定理9.2 如果已知齐次方程（9.19）的两个特解和是线性无关的，则式（9.20）是齐次方程（9.19）的通解.证明由定理9.2的条件，根据定理9.1知是方程（9.19）的解.又若即任意常数取两组值而得到相同的解，则由和是线性无关的就得到.这就证明了任意常数是相互独立的，从而式（9.20）是方程（9.19）的通解.第二节中讨论一阶线性微分方程的求解时，我们得到：一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示为它的一个特解与对应齐次线性微分方程的通解之和.对于二阶非齐次线性微分方程的通解也有类似的结论：定理9.3 设是非齐次方程（9.18）的一个特解，是对应齐次方程（9.19）的通解，则（9.21）就是非齐次方程（9.18）的通解.证明：把式（9.21）代入方程（9.18）验证即式（9.21）是（9.18）的解.又中含有两个相互独立的任意常数，所以式（9.21）是（9.18）的通解.类似地，我们还有如下结论.定理9.4 设和分别是方程与的特解，则是方程的特解.这个定理的证明留给读者完成.定理9.4指出的这个性质称为非齐次线性微分方程的叠加原理.本节讨论的二阶线性微分方程的解的性质都可以推广到阶线性微分方程..习题9－4判断下列各组函数是否线性相关（1）（2）2、证明定理9.43、将定理9.2推广到三阶齐次线性微分方程.习题9－4答案1、（1）线性相关（2）线性无关2、直接验证3、定义若3个函数都定义在区间上，且存在3个不同时为零的常数，使则称在区间上线性相关.否则就称为线性无关.定理设是三阶齐次线性微分方程的3个线性无关的特解，则是方程的通解.其中是任意常数.证明步骤.（1）验证式是方程的解.（2）证明是相互独立的：即任两组取值所得为同一解时，这两组取值实为同一组.证明略.第5节二阶常系数线性微分方程的求解由第4节定理9.3知，对于二阶线性微分方程的通解计算，我们只须分别求出一个特解和对应的齐次方程的通解就可以了.一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数齐次线性微分方程（9.22）其中是常数.由第4节定理9.2知，其通解可由两个线性无关的特解构成.那么它的特解具有什么形式呢？注意到方程（9.22）的特点是各乘以常数因子后相加等于零.如果能找到一个函数，其使与之间只相差一个常数，这样的函数就有可能是方程（9.22）的特解.而初等函数中，指数函数符合上述要求.于是假设（9.23）是所求特解，其中为待定常数，则即由于，故（9.24）由此可见，若是二次方程（9.24）的根，则式（9.23）就是方程（9.22）的特解.因此，称二次方程（9.24）为方程（9.22）的特征方程，并称特征方程（9.24）的两个根为特征根.下面根据特征方程的特征根的三种可能情况分别讨论.特征方程（9.24）有两个不相等的实根.此时是方程（9.22）的两个特解，且，所以是线性无关的. 因此，方程（9.22）的通解为（9.25）其中为任意常数. 2、特征方程（9.24）有两个相等的实根此时，我们只能得到方程（9.22）的一个特解.为要找到另一个特解，并使得线性无关，则可根据的比值不是常数，而设为待定函数，即设，则即消去，再合并整理得因为是特征方程（9.24）的两相等实根，故.故应满足的条件化成了,它有一个简单的解.由此我们得到了方程（9.22）的另一个特解，且与线性无关，所以这时方程（9.22）有通解（9