微分方程建模1.ppt

令(7)式第一个方程的右边为0，得 称它们是微分方程(7)的平衡解。易知 故又称 口开始的数量x0为多少，经过相当长的时间后, 是(7)式的稳定平衡解。可预测：不论人 人口总数将稳定在 参数 a 和b 可以通过已知数据利用Matlab 中的 非线性回归命令nlinfit 求得。 例8.放射性废料的处理 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性核废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90 多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 已知圆桶质量为239.46 kg，体积0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s 就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k = 0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题： （1）判断这种处理废料的方法是否合理? （2）一般情况下，v 大，k 也大；v 小，k 也小。当v 很大时，常用kv 来代替k ，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? ( k 的值仍设为0.6) 模型的建立与求解 (1)问题一的模型 首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力G以及水的浮力H 和水的阻力f 的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒受到的合力F 满足 F = G ? H ? f （1） 可得到圆桶的位移和速度分别 满足下面的微分方程： （2） （3） 根据方程(2)，加上初始条件 以及题设的初始数据，求得位移函数为 s(t) = ?171510.9924 + 429.7444t +171510.9924e ?0.0025056 t (4) 由方程(3)，加上初始条件 求得速度函数为 v(t) = 429.7444 ? 429.7444e?0.0025056t (5) 由s(t) = 90m，求得圆筒到达水深90m的海底需要时间t =12.9994 s，再把它带入方程(5），求出圆桶到达海底的速度为v =13.7720m/s。 显然此圆桶的速度已超过12.2m/ s，可以得出这种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能委员会已经禁止用这种方法来处理放射性废料。 (2)问题二的模型 由题设条件，圆桶受到的阻力应改为 类似问题一的模型，可得到圆桶的速度应满足如下的微分方程: (6) 根据方程(6)，加上初始条件 求出圆桶的速度为 v(t) = 20.7303th(0.0519t) 这时若速度要小于12.2m/ s ，那么经计算可得圆桶的运动时间就不能超过T =13.0025s，利用位移 计算得位移不能超过84.8438m。 从这个模型，我们也可以得到原来处理核废料 的方法是不合理的。 (3) 结果分析 由于在实际中 k 与v 的关系很难确定， 所以上面的模型有它的局限性，而且对不同的介质，比如在水中与在空气中k 与v 的关系也不同。如果假设k 为常数的话，那么水中的这个k 就比在空气中对应的k 要大一些。在一般情况下， k 应是v 的函数，即 k = k(v)，至于是什么样的函数，这个问题至今还没有解决。 这个模型还可以推广到其它方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的。尽管物体越高，落到地面的速度越大，但决不会无限大。 近年部分竞赛题目 04年：奥运会临时超市网点设计，电力市场的输电阻塞管理，饮酒驾车，公务员招聘； 05年：长江水质的评价和预测，DVD在线租赁；雨量预报方法的评价， DVD在线租赁； 06年：出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预测，易拉罐形状和尺寸的最优设计，煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制； 07年：中国人口增长预测，乘公交看奥运，手机套餐优惠几何，体能测试时间安排； 08年：数码相机定位，高校教育学费标准探讨，地面有哪些信誉好的足球投注网站，NBA赛程的分析与评价； 09年：制动器试验台的控制方法分析，眼科病床的合理安排，卫星和飞船的跟踪测控，会议筹备； 10年：储油罐的变位识别与罐容表标定，上海世博会影响力定量评估，输油管的布置，学生宿舍设计方案评价 ； 11年：城市表层土壤重金属污染