微分方程数值解课程设计报告.doc

微分方程数值解课程设计 之 利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四 阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题 指导老师 王春武 姓名：丘凯倩 江雨芮 黄东方 曲健 代永轩 学号：081110209 081110202 081110232 081110310 081110311 班级： 0811102 0811103 学院： 理学院 专业： 信息与计算科学 南京航空航天大学 2014.6.15 第十组成员及分工 组长：丘凯倩 统一规划分配任务，给出格式及求格式的截断误差，对小组成员的成果进行汇总 成员：江雨芮 进行matlab总体编程及代码改进调试工作，并给出各个格式的程序流程图 黄东方 给出欧拉公式的求解方法及编程思路，代表小组进行汇报展示 曲健 给出改进欧拉公式的求解方法及编程思路，并负责ppt及报告的撰写 代永轩 给出四级四阶R-K法的求解方法及编程思路，并负责ppt及报告的撰写 一．研究问题 分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题： 。 二．理论分析 欧拉公式 为简化分析，人们常在的前提下估计误差。这种误差称为局部截断误差。 对于欧拉格式， 而按泰勒公式展开有 因此有 所以欧拉公式的截断误差为。 2、改进的欧拉公式 截断误差： 3、四级四阶龙格-库塔公式， 截断误差： 将展开二元泰勒级数到项。 再由 比较同幂次级数可得 三．数值方法 1.欧拉格式流程图 否 是 2.改进的欧拉格式流程图 否 是 3.四级四阶的龙格库塔公式流程图 否 是 四．计算结果 精确解（下面实线）欧拉格式的解（上面实线） 改进的欧拉格式的解（红线） 四级四阶的龙格库塔的解（黑点） y1图 y2图 欧拉格式误差表格 无穷范数误差 精度 1-范数误差 精度 2-范数误差 精度 50 6.7276 0.9687 83.4513 0.9783 17.3732 0.9735 100 3.5780 0.9830 86.5196 0.9880 12.7754 0.9856 200 1.8469 0.9911 88.1628 0.9937 9.2193 0.9925 400 0.9386 89.0137 6.5870 改进的欧拉格式误差表格 无穷范数误差 精度 1-范数误差 精度 2-范数误差 精度 50 2.8122 1.0483 40.2143 1.0434 7.7855 1.0457 100 1.4075 1.0252 39.7193 1.0224 5.4288 1.0237 200 0.7036 1.0129 39.4520 1. 0114 3.8094 1.0121 400 0.3517 39.3133 2.6829 四级四阶龙格库塔格式误差表格 无穷范数误差 精度 1-范数误差 精度 2-范数误差 精度 50 2.7177 1.0250 39.1713 1.0254 7.5557 1.0252 100 1.3822 1.0124 39.1711 1.0126 5.3435 1.0125 200 0.6970 1.0062 39.1711 1.0063 3.7785 1.0063 400 0.3500 39.1711 2.6719