物理刚体运动.ppt

* 设圆盘经过时间t停止转动，则有 由此求得 §4-4 定轴转动的动能定理 1.力矩的功 当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。 力 对P 点作功： 0‘ 0 因 力矩作功： 对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。 2.定轴转动的动能定理 根据定轴转动定理 外力矩所做元功为： 则物体在 时间内转过角位移 时 总外力矩对刚体所作的功为： 刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 例1:如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。 2r1 2r2 d 解:（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得 皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为 由此得飞轮的角速度 这样飞轮的转动动能是 （2）若冲床冲断0.5mm厚的薄钢片需用冲力9.80?104N，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？ 这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为 由 求得此时间的角速度?’‘为 而飞轮的转速变为 解: 先对细棒OA所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。 例2: 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。 ? G A A? O ? 在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ? ，棒转过一极小的角位移d ?时，重力矩所作的元功是 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是 应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度?0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为? ，按力矩的功和转动动能增量的关系式得 由此得 代入上式得 因 所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为 §4-6 刚体角动量和角动量守恒定律 1. 定轴转动刚体的角动量定理 刚体定轴转动定理： 则该系统对该轴的角动量为： 由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、…， 对于该系统还有 为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。 角动量定理的微分形式： 在外力矩作用下，从 角动量 变为 ， ， 则由 得 2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律 角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。 讨论： a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当 合外力矩为零时，其角速度恒定。 恒量 =恒量 =恒量 b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。 例1: 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过O的水平轴转动，如图。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 ?。相撞后物体沿地面滑行s而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。 解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能 C O 零点，用?表示棒这时的角速度,则 （1） 第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。 这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则 （2） 式中?’ 棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ?’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。 第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为 （3） 由匀减速直线运动的公式得 （4） 亦即 由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得 （