现代控制理论第二版 王孝武 第4章.ppt

4.7 非线性系统的稳定性分析 4.7.1 用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性 到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。 1. 克拉索夫斯基法 （12） 非线性定常系统的状态方程为 其中 和 均为n维向量。 为非线性多元函数，对各 都具有连续的偏导数。 构造Lyapunov函数如下 （13） 其中 W 为 正定对称常数矩阵 （14） 而 （15） 其中 称为雅可比矩阵 （16） 其中 （17） 如果 是负定的，则 是负定的。而 是正定的，故 是一致渐近稳定的。如果 ， ，则 是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取 ，这时 例4-10 非线性定常系统状态方程为 试分析 的稳定性。 解 雅可比矩阵 选择 W=I 则 检验 的各阶主子式： 并且 时，有 显然， 是负定的，故 是大范围一致渐近稳定的。 2 变量梯度法 设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态， (1)设V(x)的梯度为 (2)设梯度▽V(x)对应于有势场，则旋度rot▽V(x)=0，即 (3)由 (4)由(2),(3)定出▽V(x) (5) (6)判断V(x)计算结果的正定性 3：阿塞尔曼法 设系统的动态方程为： 其中f（xi）为非线性单值函数，f（0）=0，故x=0为系统的平衡状态。 阿塞尔曼指出：若以线性函数取代非线性函数， 即令f（xi）=k xi，可对线性化后的系统建立李雅普诺夫函数V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2区间内是负定的，则当非线性函数不超过上述区间时，非线性系统的平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。 例 设 f(x1)如图所示，判断x=0的稳定性 解：令f(x1)=2x1 线性化后的系统方程为 令 得 Q为正定对称阵 认为非线性系统的李雅普诺夫函数就是V（x），则 根据 负定的要求，稳定时要求 根据 负定的要求，稳定时要求 只要非线性特性在此范围内，系统是大范围渐近稳定的 阿塞尔曼法的特点是很简单，但这一分析结果不一定总是正确的，即使如此，工程上仍作为试探非线性系统稳定性的一种方法 李雅普诺夫第二法的几点说明 第二法给出的是稳定性的充分条件，因此，一个系统满足稳定条件时，它一定稳定；如果不满足稳定条件，则不能作出不稳定的结论 V（x）不是唯一的，因此满足稳定性条件的各种方案有相应的稳定范围，它们不一定相同。 第二法的应用中，没有一种方案是通用的 以上讨论，均假设x=0为平衡点，如果平衡点不在原点，通过适当的坐标变换，将它移到原点 李雅普诺夫函数除了提供稳定性判据外，还可用于线性和非线性系统的瞬态性能分析和参数选择 4.7.2 用Lyapunov第一近似理论分析非线性系统稳定性 非线性定常系统方程为 如果当 ，有 ，则 为高阶无穷小项。 （18） 设 在 的邻域内，可以展开成台劳级数： （19） 忽略高阶无穷小，得到非线性系统的线性化模型 （20） 其中 这是一个雅可比矩阵 定理4-6 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值具有负实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为渐近稳定。 定理4-7 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值中如果有一个（或一个以上）具有正实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为不稳定。 Lyapunov第一法由以下3个定理组成： 定理4-8 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的特征值中有实部为零的，而其余的特征值实部均为负，则式（18）所描述的非线性系统在 处是否为稳定则不能确定。（要取决于高阶项） 第4章 控制系统稳定性 对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。 A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理