现代控制理论第一章02.ppt

离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统一致。 为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去 与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图如下图所示。 线性定常离散系统状态空间模型的结构图 小结 习题： 1－4；1－6；1－7；1－9(1) 本章结束 * * 证明 若pi为对应与特征值?i的独立特征向量,则必有 Api=?ipi 因此有 [Ap1 Ap2 … Apn]=[?1p1 ?2p2 … ?npn] 对上式两边分别有 [Ap1 Ap2 … Apn]=A[p1 p2 … pn]=AP 故 AP=Pdiag{?1 ?2 … ?n} 即 P-1AP=diag{?1 ?2 … ?n} 即证明了结论。 对原状态方程进行线性变换 后,可得 [例]：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性 考虑系统 为： 非奇异变换后 1）若选择非奇异变换阵T为： 结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性 2）若选择非奇异变换阵T为： 对角线矩阵 [例] 线性定常系统 ，其中： 将此状态方程化为对角线标准型. 当 时， 2)确定非奇异矩阵P [解]: 1)求其特征值: 取: 当 时， 取: 同理当 时， 得: 3）求 对角线标准型为： 2、约旦规范形 若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时,则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。 在此种情况下,A可变换成约旦矩阵,系统表达式可变换成约旦规范形。 下面将分别讨论 约旦块和约旦矩阵 约旦规范形及其计算 1） 约旦块和约旦矩阵 矩阵的约旦块的定义为 由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如 J=block-diag{J1 J2 … Jl} 下述矩阵均为约旦矩阵 上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为1?1维的特征值2的约旦块和3?3维的特征值-1的约旦块; 第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为1?1维的特征值3的约旦块以及1?1维和2?2维的特征值-1的两个约旦块。 对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为1?1。 2) 约旦规范形及其计算 定义 系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。 与对角线规范形一样,约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间模型。 下面讨论一般状态空间模型与约旦规范形之间的线性变换的计算问题。 对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵,虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但 可经相似变换化为约旦矩阵。 状态空间模型变换与对角线规范形、约旦矩阵规范形的关系? 一般状态 空间表达式 对角线规范形 约旦规范形 n个独立特征向量 代数重数=几何重数 代数重数几何重数 n个独立特征向量与广义特征向量 特例 线性变换 若将对角线矩阵视为约旦矩阵的特例的话,则任何矩阵皆可经相似变换化为约旦矩阵。 相应地,任何状态空间模型都可经状态变换变换成约旦规范形。 对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。 约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联。 任何矩阵都可变换成约旦矩阵,但能变换成有几个约旦块的约旦矩阵,则与系统的特征向量有关。对此有如下结论: 矩阵所变换成的约旦矩阵的约旦块数等于该矩阵的线性独立特征向量数(即几何重数)。 注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为 具有重特征根，但A独立的特征向量的个数仍然为n个： 由线性代数矩阵的对角化可知，此时，仍能变换成对角线标准型。 具有重特征根，且A独立的特征向量的个数小于n个： 这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。 要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成P变换阵 结论 已知线性定常系统的状态方程为 x’=Ax+Bu 若A的共有p(pn)个互异的特征值,l(p?l?n)个线性独立特征向量pi及相应的广义特征向量pi,j(i=1,2,…,l;j=1,2,…,mi), 则必存在变换矩阵P,使其进行