电磁场与电磁波第一章解读.ppt

拉普拉斯算符的表达式： 在散度计算式中，令 A = ?，则有 矢量场 A 的旋度 1.4.3 圆柱坐标系 圆柱坐标系的坐标参量为 (?, ?, z)，即 u1 = ?,u2 = ?， u3 = z。基本单位矢 e?，e?，ez。e?，e? 的方向随 ? 而变。 三个坐标方向的线元分别为 拉米系数为 h1=1 h2 = ? h3 =1 在圆柱坐标系中，位矢表示为为 矢量 A 的表达式为 圆柱坐标系中微分运算式 ： 圆柱坐标与直角坐标之间的关系为 两套单位矢之间的变换关系： 1.4.4 球坐标系 球坐标系的坐标参量为 ( r, ?, ? ) ，基本单位矢为 er，e? ，e? 。它们皆是场点方位角 (?, ? ) 的函数。 三个坐标方向的线元和拉米系数为 位矢表达为 矢量 A 写为 球坐标系中的微分运算式： 球坐标和直角坐标之间的关系 两套单位矢之间的变换关系 1.5 矢量场的唯一性定理与亥姆霍兹定理 1.5.1 矢量场的唯一性定理 定理：一个矢量场被其散度、旋度和边界条件（场矢量在边界上的法向分量或切向分量）所唯一确定。 证： 采用反证法。设存在两个矢量场 f 和 g，它们在边界上有相同的法向分量或切向分量，在场域内有相同的散度和旋度。令 F = f - g，则有 ?×F = 0, ?·F = 0 ，Fn|S= 0，或 Ft|S= 0 ， 注意到梯度无旋， 故可写 F = ?U （ U 为任意标量函数） 又因为 ?·F = 0 ，故 ?2U = 0 。 在格林第一恒等式 中，令 ? = ? = U，注意到 ?2U = 0 ，则可得 若已知 f 和 g 在边界上的法向分量，则由 Fn|S= 0，上式成为 若已知 f 和 g 在边界上的切向分量，则有 可知 ?U 处处垂直于界面，因此界面 S 为 U 的等值面。 利用散度定理以及 ?2U = 0，则有 综上，在上述两种边界条件下，总有 。 因为(?U)2 非负，故必有 ?U = 0，即 F = 0 所以有 f = g 。场的唯一性得证。 1.5.2 亥姆霍兹定理 定理：任意矢量场 F 可分解为无旋场 Fd 和无散场 Fc 两部分，即 F = Fd+Fc ，其中 Fd 和 Fc 分别满足 ?×Fd = 0, ?·Fc = 0 （证明从略） 因为 Fd 可写为 Fd= - ??，Fc 可写为 Fc= ?×A ，故总有 F = - ?? +?×A 这里 ? 为任意标量场，A 为任意矢量场。 亥姆霍兹定理表明，任意矢量场 F 可以用一个标量函数和一个矢量函数来描写。 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 物理量的空间分布构成一个物理的“场”。 标量场：? (r,t) 矢量场：A (r,t) 处理场的数学方法是矢量分析。本章将讨论标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的运算。 主要内容： 梯度、散度和旋度的定义和相关的运算公式，以及它们在直角坐标系、圆柱坐标、球坐标系和一般正交曲线坐标系中的表达式。 1.1 标量场的梯度 1.1.1 方向导数 标量场 ? (r,t) 的方向导数描写标量函数 ? (r,t) 在空间中每一点上沿给定方向的变化率。 在 M0 点沿 l 方向的方向导数为 在直角坐标系中， 其中 、 、 是 l 的方向余弦。 于是，直角坐标系中方向导数的表达式为 1.1.2 梯度 标量场的梯度为空间点的矢量函数，其方向是标量场在该点有最大增加率的方向，其值则为沿该方向的方向导数值。 设射线 l 的单位矢为 引入矢量 则有 显然，当 el 与 G 同向时， 有正的最大值。因此，矢量 函数 G 同时给出了有最大方向导数的方向和该最大导数值。按前面的定义，G 就是标量场 ? (r, t) 的梯度，记为 grad? 。 因此，直角坐标系中梯度的表达式为 引入哈米顿算符 ?，在直角坐标系中 ? 算符为矢量微分算符，规定其作用于右边的函数或矢量上时，总是先做微分运算，后做矢量运算。 利用算符 ?，梯度可写成 从而有 注意到 ? 为任意标量函数，故可有算符等式： 等值面：? 值相等的空间点组成的面，即 ? (r)= const。 设 el 为等值面的任一切向单位矢，则有 可见梯度矢量总垂直于等值面。 1.1.3