平面向量坐标运算及共线的坐标表示详解.ppt

* 海 盐高级中学 高新军 复习引入： 1.平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.用坐标表示向量的基本原理是什么？ 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y). 我们需要研究的问题是： ⑴向量的和、差、数乘、模的运算，如何转化为坐标运算。 ⑵共线向量（定理）如何通过坐标来表示。 探究（一）：平面向量的坐标运算 思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1), b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？ a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j. a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1). 说明：向量和（差）的坐标等于这向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. o x y B A 思考2：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？ ＝(x2－x1，y2－y1). ㈡任意一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标. 思考4：在上图中，如何确定坐标为(x2－x1，y2－y1)的点P的位置？ o x y B A P(x2-x1,y2-y1) 思考5：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 如何计算？ A a x y O ㈢ 也叫距离公式 探究（二）：平面向量共线的坐标表示 思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0）， 那么a，b满足什么关系？ 思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ a＝λb. ㈣向量a，b（b≠0）共线 思考3：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？ x y O P2 P1 P P P ㈤.三角形中位线定理 A B C M 思考4：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且 ，那么点P的坐标有何计算公式？ x y O P2 P1 P ㈥定比分点坐标 理论迁移 例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)， a－b＝(5，－3)， 3a＋4b＝(－6，19). 例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，试求顶点D的坐标. o x y A B C D D（2，2） 例3 已知向量a=(4，2)，b=(8，y),且a∥b，求y的值. y＝4 例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？ ，A、B、C三点共线. 小结作业 1. 向量的坐标运算（加、减、数乘） 2.向量AB的坐标如何求？ 3.如何用向量的坐标求向量的模？ 4.若a//b(b≠0)它们的坐标满足什么关系式？ 5.三角形中位线定理是什么？ A B C M 课后练习： A. 6 B. -5 C. 7 D. -8 2. 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共线， 则x的值为( ) A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 B B 课后练习 A. 1, 2 B. 3, 2 C. 2, 2 D. 2, 4 C 课后练习 5. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐 标为A(5, 7)，B(3, x)，C(2, 3)，D(4, x)， 则x= . . , 2 2 ), 1 , ( ), 2 , 1 ( . 4 的值为 则 平行 与 若 已知 x b a b a x b a - + = =