三角恒等式变换.doc

三角恒等变换专题复习 一．课标要求： 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用推导出两角差的余弦公式能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 。 3．半角公式 （） 4．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 ；；。 （ ） （2）辅助角公式 ， 。 5．三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 6．三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 四．典例解析 题型1：两角和与差的三角函数 例1．已知，求cos。 例2．已知求 （1）（2）cos（） 题型2：二倍角公式 例3．化简下列各式： （1），（2）。 例4.（2008北京文）若角α的终边经过点P 1,-2 ,则tan 2α的值为 题型3：辅助角公式 例4． 2008全国Ⅱ卷文 函数的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 例5．（2000全国文，17）已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R. （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 题型4：三角函数式化简 例6．（06北京理，15）已知函数. 设的第四象限的角，且，求的值。 题型5：三角函数求值 例7．（06重庆理，17）设函数f x cos2x +sinxcosx+a 其中＞0,aR ,且f x 的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。（Ⅰ）求ω的值； 例8.（2008北京文、理）已知函数的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f x 在区间[0，]上的取值范围. 练习一、 1 已知，，则（ ） 2. 2008海南、宁夏文 函数的最小值和最大值分别为（ ） 3 在△ABC中，，则△ABC为（ ） 4 2008江苏 的最小正周期为，其中，则 （ ） 5 设，，， 则大小关系 6 （2008浙江文）若 . 7. 2008辽宁文 设，则函数的最小值为 8 若则 9 2008广东理 已知函数，则的最小正周期是__ 10. 2008全国Ⅰ卷文 的周期是 11 已知那么的值为 ,的值为 练习二、 1 已知求的值 2 求值： 3 2008江西文 已知， （1）求的值； （2）求函数的最大值． 已知函数 （1）求取最大值时相应的的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象 2