--中国地质大学(武汉)高等代数模拟试题一及答案.doc

考试课程名称：高等代数模拟试题（1）答案 学时： 60 考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）如果，则A，B各为 1，-2 。 （2）设四阶方阵，则的逆阵。 （3）设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为。 （4）设阶矩阵的元素全为1，则的个特征值是 n，0，0，0，……，0 。 （5）已知向量组，，，则该向量组的秩是 2 。 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）下列运算中正确的是（ D ） （A） ； B ； C ； D 。 （2）设阶矩阵的行列式，是的伴随矩阵，则（ C ） A ； B ； C ； D 。 （3）设阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ B ） （A）充分必要条件； B 充分而非必要条件； C 必要而非充分条件； D 即非充分也非必要条件。 （4）设矩阵的秩为，为阶单位方阵，下述结论中正确的是（ C ） A 的任意个列向量必线性无关； B 的任意一个阶子式不等于零； C 若矩阵满足，则，或非齐次线性方程组，一定有无穷多组解 D 通过初等行变换，必可化为的形式。 （5）设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ） A 若仅有零解，则有唯一解； B 若有非零解，则有无穷多个解； C 若有无穷多个解，则仅有零解； D 若有无穷多个解，则有非零解； 10分 解线性方程组 解：由 得 进而有 解之得 四、 10分 已知，其中，，求矩阵。 解：由 得 而 可逆 试卷类别 A卷 B卷 模拟√ 班级 姓名 成绩 使用学期 任课教师 韩世勤 教研室主任 审核签字 可以求得 所以 五、 10分 设集合V ，试证V构成一个线性空间，并说明它的维数是多少。 证明：设 即 ，； 于是 由此可见，V关于向量的数乘与加法是封闭的，根据定义可以知道，V构成一个线性空间。并且其维数是-1。 六、 10分 设阶方阵满足条件，其中是的转置矩阵，为单位矩阵。证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。 证明：因为阶方阵满足条件，所以矩阵A是正交矩阵，即 由于 ，所以与有相同的特征值。 又 ， 所以 ， 即与的特征值互为倒数。 因此有 ， 即，或者 七、（10分）已知二次型，通过正交变换化为标准型，求参数，并判断该二次型是否为正定二次型。 解：二次型的矩阵，所以 ， 而 ， 因此有 ，解之得 。 由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。 八、（10分）计算矩阵的约当（Jordan）标准形。 解：首先计算矩阵A的初等因子， 可知A的初等因子为 ，，因此A的约当标准型为 试卷类别 A卷 B卷 模拟√ 班级 姓名 成绩 使用学期 任课教师 韩世勤 教研室主任 审核签字 中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制