009-小波分析(第四讲)--小波新进展_信号的稀疏表示.ppt

* How many vectors do we need to represent a typical natural image? * * * * * * * sin(2*pi*57*t)+sin(2*pi*145*t+pi/3)；两个正弦信号的叠加，采样频率1khz，采样点数256； * 周期为2*pi/100 2*pi/150 2*pi/200 2*pi/250； 四个方波信号的叠加，采样频率1khz，采样点数256； * 周期为2*pi/100 2*pi/150 2*pi/200 2*pi/250； 四个方波信号的叠加，采样频率1khz，采样点数256； 上图的横轴表表示时间，下图的横轴表示原子序号。 * 周期为2*pi/100 2*pi/150 2*pi/200 2*pi/250； 四个方波信号的叠加，采样频率1khz，采样点数256； * sin(2*pi*57*t)+sin(2*pi*145*t)+3*square(t*250) * sin(2*pi*57*t)+sin(2*pi*145*t)+3*square(t*250); * 正弦与三角波的叠加 * 正弦与三角波的叠加 * 边缘成分在各个尺度中都有表现，从特征分析的角度看，不利于对信号的理解。 * 在小波变换中，边界需要用较多的基成分来表示。而使用稀疏几何表示，这种边界可以用很少几个基成分来表示。 * * 通过这样一个角度来看信号，信号具有简洁性。同时，具有丰富性。 * 求a的过程属于正向变换，求a的问题也是正问题。 * * 基础知识---信号的稀疏表示 稀疏性 度量准则 稀疏分解方法 分解方法特点 匹配追踪 易于陷入局部最优；计算速度快 正交追踪 信号逼近速度快；计算复杂 基追踪 全局最优；计算复杂 欠定系统局噪解法 信号表示的稀疏性差 c的熵 最佳正交基法 原子库由多个正交基组成 灵活性 根据应用的不同，灵活地构造原子库、选择稀疏分解的算法。 如可以基于函数模型或表征一定物理意义的向量来构造原子库。 相比小波正交分解，小波函数需要满足容许性条件、正交条件。 稀疏性 信号分解系数比较少，可以得到信号的有效表示。 信号稀疏表示的特性 自适应性 信号分解时,可以根据信号的结构自适应地选择原子。 如MP迭代分解，每次都选择在与残差信号结构最匹配的原子上进行分解。 超分辨性 比传统分析方法具有更高的分辨率 例如：描述学生成成绩优劣可以用及格和不及格 也可以用优、良、中、差来描述。 显然，后然描述的更精确 信号稀疏表示的特性 信号稀疏表示的关键问题 信号的稀疏分解方法 原子库如何构造 分解系数的稀疏性（简洁性）是以原子库的复杂性为代价的 小结 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * e2 = [0, 1] = e1 = [1, 0] = e3 e4 过完备表示 e2 = [0, 1] = e1 = [1, 0] = e3 e4 e5 过完备表示 e2 = [0, 1] = e1 = [1, 0] = e3 e4 e5 过完备表示 e2 = [0, 1] = e1 = [1, 0] = e3 e4 e5 e6 过完备表示 信号的表示---例2 信号的表示---例3 信号的表示---例3 信号的表示---例3 信号的表示---例4 信号的表示---例4 信号的表示---例4 信号的表示---例5 ? 信号的表示---例5 ? ? : : 信号的表示---例5 寻求客观事物的“稀疏”表示方法, 一直是计算机视觉、数学、数据压缩等领域的专家学者致力于的研究目标. 对于含“点奇异”的一维信号, 小波能达到最优的非线性逼近阶. 而在处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时, 由一维小波张成的高维小波基不能达到最优逼近阶. 小波变换的不足使人们开始寻求更好的非线性逼近工具. 稀疏（2） 边缘在小波的各个尺度上扩散 过去几年,在数学分析、计算机视觉、模式识别、统计分析等不同学科中,分别独立地发展着一种彼此极其相似的理论:多尺度几何分析.发展多尺度几何分析的目的是为了检测、表示、处理某些高维奇异性. 对于二维图像,奇异性主要由边缘所刻画,因此主要的任务是处理边缘。目前,提出的多尺度几何分析方法主要有: Ridgelet、Curvelet、Bandelet、Contourlet等. 稀疏几何表示 小波 稀疏几何表示 小波和稀疏几何方法在处理边缘上的差异 过完备稀疏表示采用过完全函数系统代替传统的正交基函数。从过完备系统中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号。 过完备稀疏表示方法始于