8第八节 复系数与实系数多项式的因式分解.ppt

* * 以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题，现在来看一下在复数域与实数域上多项式的因式分解. 复数域与实数域既然都是数域，因此前面所得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数域又有它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化. 第八节 复系数与实系数 的因式分解 上页 下页 返回 代数基本定理 每个次数≥1的复系数多项式在复数域中必有一根. 上页 下页 返回 对于复数域，我们有重要的结论为 每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上有一定有一个一次因式. 这个定理的证明在本课程中不讲，将来利用复变函数论中的结论，可以很简单地得以证明. 利用根与一次因式的关系（本章第七节定理7的推论），代数基本定理 显然可以等价地叙述为 上页 下页 返回 由此可知，在复数域上所有次数1的多项式全是可约的. 换句话说，不可约多项式只有一次因式. 于是因式分解定理在复数域上可以叙述为： 复系数多项式因式分解定理 每个次数≥1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成一次因式的乘积. 其中，a1,a2, … , as 是不同的复数，l1,l2, … , ls 是正整数，标准分解式说明每个n次复系数多项式恰好有n个重根（重根按重数计算）. 上页 下页 返回 因此复系数多项式都具有标准分解式 下面来讨论实系数多项式的分解. 两边取共轭数 ，有 上页 下页 返回 对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即，如果 a 是实系数多项式f(x)的复根，那么 a 的共轭数 也是f(x)的根，因为设 其中a0,a1, … , an是实数，有 这就是说，f( )=0， 也是f(x)的根. 由此可以证明 证明 定理对一次多项式显然成立. 上页 下页 返回 实系数多项式因式分解定理 每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 假设定理对次数n的多项式已经证明. 设f(x)是n次实系数多项式. 由代数基本定理， f(x)有一复数根a，如果a是实数，那么 显然 上页 下页 返回 其中f1(x)是n-1 次实系数多项式. 如果a不是实数，那么 也是f(x)的根，且 .于是 是一实系数二次不可约多项式. 从而 f2(x)是n-2次实系数多项式. 由归纳法假定，f1(x)或f2(x)可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因此f(x)也可以如此分解. 证毕. 其中 全是实数， 是正整数， 并且 是不可约的， 也就是适合条件 . 上页 下页 返回 因此，实系数多项式具有标准分解式 例 在实数域上分解下列多项式为不可约多项式 解 令 则 由于 ，故 是一个实数，而 上页 下页 返回