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向量的数乘运算及几何意义 1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）； （2）当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当 时，． 2．实数与向量的积的运算律： （1）（结合律）； （2）（第一分配律）； （3）（第二分配律）． 向量共线定理： 如果有一个实数，使 （），那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得． 3．例1 计算：（1）； （2）； （3）． 例2．已知向量和向量，求作向量 4．练习 计算： （1） （2） 5．思考 例3． 例4、 练习： 1．给出下列四个结论 －＝；0 a ＝0；0 0 ＝0； 若两个非零向量a，b满足a＝kb k≠0 ，则a，b方向相同． 其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列叙述不正确的是 A．若a、b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. B. b＝3a a为非零向量 ，则a、b共线 C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c 3．下列说法不正确的是 A．若＝，则A、O、B三点共线 B．若＝，则 C．若|λa|＝|λ||a| λR ，则λa与a方向相同 D．若a＝4m＋n，b＝m＋n则a－b＝3m 4．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________. 5．若a，b为已知向量，且 4a－3c ＋3 5c－4b ＝0，则c＝________. 6．给出下面三种说法： 一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； 零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是 A． B．C． D． 7．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2 ．在ABC中，＝3，则等于 A. ＋2 B. ＋2 C. ＋3 D. ＋2 9．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上 不包括端点A、C ，则等于 A．λ ＋ ，λ 0,1 B．λ ＋ ，λ C．λ － ，λ 0,1 D．λ － ，λ 10．若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且＝a，＝b，则等于 A．b＋a B．b－aC．a＋b D．a－b ．已知向量a与b的夹角是45°，则－2a与3b的夹角是________． ．设M、N、P是ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a、b将、、表示出来． ．如图所示，在ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点．已知＝c，＝d，试用c，d表示和. 是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是 A. 与－的方向相反 B.≥ C. 与的方向相同 D. 2、已知向量、不共线，若 3-4， 6+k且∥，则k的值为（ ） A.8 B.-8 C.3 D.-3 3、化简：（1）； （2）； （3）. 4、（1）已知，则 ____； （2）四边形中，若则形 5、已知： +2， 3－2,求：+，－，3+2. 6、已知非零向量与，若，，，求证三点共线。 4