§7.7立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离.docVIP

§7.7　立体几何中的向量方法 二 ——求空间角和距离导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角．空间向量求距离1．两条异面直线的夹角 1 定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角． 2 范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________． 3 向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________2．直线与平面的夹角 1 定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角． 2 范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________． 3 向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝__________3．二面角 1 二面角的取值范围是____________． 2 二面角的向量求法： 若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角 如图 ． 设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 ，则cos θ＝________4．利用空间向量求距离 1 两点间的距离设点A x1，y1，z1 ，点B x2，y2，z2 ，则|AB|＝||＝. 2 点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. 【自我检测．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A 2,1,1 ，且两平面的一个法向量n＝ －1,0,1 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D．3 ．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 　　 ． A．30° B．60° C．120° D．150° 3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 　　 ． A. B. C. D. 4．已知直二面角α-l-β，点Aα，ACl，C为垂足，点Bβ，BDl，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝ 　　 ． A．2 B. C. D．1 ．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.ABC＝DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为 　　 ． A.　　　B.　　　C.　　　D. 6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为 A. B. C．2 D. 【课堂活动】 题型求直线与平面所成的角 例2　 2014·北京 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. 1 求证：AB∥FG； 2 若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．题型　求二面角 2014·课标全国Ⅰ 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C. 1 证明：AC＝AB1； 2 若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值． 题型　求空间距离 例4　如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离． 2015·湖南 如图，在四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱，上． Ⅰ 若点P是的中点，证明：； Ⅱ 若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．