《一次函数》经典例题解析(教师用).docVIP

类型一：正比例函数与一次函数定义　　1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？ 　　思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．　　解：∵函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数，　　　　∴ ∴m=-2.　　　　∴当m=-2时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数．　　举一反三：　　【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）.　　A．m=2或m=0 　　　B．m=2 　　　C．m=0　　　 D．m=1　　【答案】：考虑到x的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C　　【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.　　（1）写出y与x之间的函数关系式；　　（2）当x=4时，求y的值；　　（3）当y=4时，求x的值．　　解析：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．　　　　　　　　把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得　　　　　　　　7-3＝2k，　　　　　　　　∴ k＝2．　　　　　　　　∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．　　　　　 （2）当x=4时，y=2×4+3=11．　　　　　 （3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.类型二：待定系数法求函数解析式　　2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式． 　　思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．　　解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，　　　　　∵图象经过点（ 2，-1），　　　　　∴ -l=2×2+b．　　　　　∴ b=-5，　　　　　∴所求一次函数的表达式为 y=2x-5.　　总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。　　举一反三：　　【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．　　分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．　　解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b．　　　　由题意可知，当 x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2.　　　　把它们代入y=kx+b中得　　　　∴　　　　∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6．　　【变式2】已知直线y=2x+1．　　（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；　　（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．　　解析：　　∵直线 y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，　　∴两直线上的点关于 y轴对称．　　又∵直线 y＝2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（-，0），B（0，1）,　　∴A（-，0），B（0，1）关于y轴的对称点为A′（，0），B′（0，1）．　　∴直线 y=kx+b必经过点A′（，0），B′（0，1）．　　把 A′（，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得　　∴　　∴k＝-2，b＝1．　　所以（1）点M（0，1）（2）k=-2,b=1　　【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．　　分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．　　解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．　　　　由题意可知，　　　　∴　　　　∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．　　　　∴当 x=4时，y=4-2=2．　　　　∴点 C（4，2）在直线y=x-2上．　　　　∴三点 A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．类型三：函数图象的应用　　3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题： 　　(1)汽车共行驶了___________ km；　　(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；　　(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；　　(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：读懂图象所表