南航矩阵论第一章.ppt

逆映射与复合映射 1.1.8 逆映射的定义 定义: 设有映射 若存在一新映射 使 习惯上 计为 例如, 映射 其逆映射为 称此映射 g为 f 的逆映射 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若f有逆映射，则称f可逆. 定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 是唯一的。 复合映射 机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒 A 引例. 复合映射 定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并 设 有两个映射 由 确定 A 到 C 的映射 称为映射 的乘积（复合），记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形. C 定理1.1.3 设有映射 注意：复合映射一般不满足交换律。 定理1.1.5 映射f :A→B是可逆映射的充 分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。 证明： 定义1.1.11 设A 是一个非空集合，A 到 自身的映射称为A 的变换；A 到自身的双 映射称为A 的一 一变换；如果A 是有限集， A 的一一变换称为A 的置换。 1.1.4 数域与代数运算 定义1.1.12 设 P 是包含0和1在内的数集，如 果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数 不为0）仍是 P 中的数，则称 P 为一个数域。 定义1.1.13 设A,B,C是三个非空集合， 到C的映射称为A与B到C的一个代数运算。 特别地， 到C的映射称为A到C的代数 运算； 到A的映射称为A的代数运算或A 的二元运算，也称集合A对代数运算是封闭 的。 一个代数运算是一个特殊的映射。如果 有A与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定 义，对任意 ，经过代数运算 得 唯一的 ，即 :(a,b)→c，记为c=a b * * * * * * 教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书： 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004. 2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002. 第2章 线性映射与线性变换 第1章 线性空间与内积空间 第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第8章 广义逆矩阵 第1章 线性空间与内积空间 本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中，这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。本章内容是学习本书的基础。 1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间 1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 1.1.1 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。 x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如 , 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 由集合的交与并运算的定义，显然有 定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则 特例: 记 为平面上的全体点集 机动