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基于MATLAB的单级倒立摆的 王思 3120150031 （1.北京理工大学宇航学院，北京 100081） 摘 要：以一级直线倒立摆为模型，研究线性二次型指标的最优控制问题，并利用 关键词：倒立摆，LAB，最优控制 Study of LQR Control Singe Inverted Pendulum Based on MATLAB Wang Si 1 (School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China) Abstract: Based on single inverted pendulum model to study the line for the linear quadratic index optimal control problem, and use MATLAB to design the optimal controller system conventional LQR. Through adjusting weighted matrix Q and R, make the controller system performance to achieve optimal and draw the system order step response curve. The simulation results show that the system has a good stability and quickness. Key word: inverted pendulum, LQR, MATLAB, optimal control 1 单级倒立摆数学模型 在忽略了空气阻力，各种摩擦后，可将一级倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统，如图1所示。 图1 一级直线倒立摆系统 为摆杆与垂直向上方向的夹角，为摆杆和垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下），因此系统状态空间方程为： (1) 其中，四个状态量、、、分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆角速度，为重力加速度，输出包括小车位移和摆杆角度。 直线一级倒立摆系统的控制问题可理解为稳态时间连续系统的状态调节器问题。该系统的状态方程为（1）式，系统的性能指标是： 线性二次型调节器使得上述性能指标达到最小。其中不受约束，和称为加权矩阵，为常数对称正定阵。，为如下的半正定对称解。 3 LQR最优控制器的MATLAB实现 下面针对直线型一级倒立摆系统应用倒立 表1 实际系统参数表 1.096 Kg 摆杆质量 0.109 Kg 小车摩擦系数 0.1 N/m/sec 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25 m 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m 重力加速度 9.8 m/(s*s) 采样频率 0.005 s 将实际系统参数代入（1）式，可得倒立摆系统状态方程： （2） 控制系统结构如图2所示，图中 图2 控制系统结构 假设全状态反馈可以实现，C’*C= diag (1，0，1，0-1.0000 -1.7619 16.1472 3.0896]。系统的阶跃响应曲线如图3所示，可见系统的响应速度很慢，不太理想。 和 diag(4000,0,100,0)时系统的超调量很小，达到稳态的时间也很短，动态性能有较大改善，满足最优的设计要求。 图3 系统阶跃响应（） 图4 系统阶跃响应（） 图5 系统阶跃响应（） R的选择是一个试凑的过程，若 直线倒立摆  参考文献： [1] 马扬龙, 陈琼, 宁玉玲. 基于MATLAB的单级倒立摆的LQR控制研究[J]. 工业控制计算机, 2013, 26(2):98-99.马娟丽. LQR系统最优控制器设计的MATLAB实现及应用[J]. 石河子大学学报：自然科学版, 2005, 23(4):519-521.