一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析.docx

一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程： （1） （2）设, 假设与1（单位是弧度）相比很小，即c 1，则可以进行近似处理：,，。用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下： （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到： （4）由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到： （5）令，则有： （6）把上式代入方程组的第二个方程，得到： （7）整理后得到传递函数： （8）其中 。2.2 状态空间模型设系统状态空间方程为： （9）对，解代数方程，得到解如下结果： （10）整理后得到系统状态空间方程： （11）表1 系统参数小车质量1.096 Kg摆杆质量0.109 Kg小车摩擦系数0 .1N/m/s摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m摆杆惯量0.0034 kg*m*m代入数据得到： （12）三、倒立摆模型的性能分析应用系统状态空间模型分析系统的能控性和能观性。用MATLAB计算出，可知能控性判断矩阵满秩，系统完全能控。用MATLAB计算出，可知系统能观性判断矩阵满秩，系统完全能观。四、用最优控制法分析一级直线倒立摆系统通过线性二次型最优设计方法在实际的倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用，具有较好的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点。最优控制理论主要是依据极大值原理，通过对性能指标的优化来寻求使目标极小的控制器。应用状态空间模型，定义性能指标函数为：，性能参数Q、R的选择非常重要，如果选择不当,则可能使系统处于不稳定状态，就更谈不上最优了。因此只有通过反复的实验选取合适的Q和R才能实现对倒立摆系统的稳定控制。4.1 最优反馈增益矩阵的求取使用完全状态反馈设计控制器，由于系统是完全能观和能控的，故系统中4个状态变量均可观测，并可用于状态反馈。根据倒立摆系统运动过程特点，以稳定摆杆为主，其次考虑小车的水平位移，选取合理的加权矩阵Q和R，从而求取状态反馈矩阵K。选择加权矩阵：Q=diag([10, 0, 50, 0])，R = 0.01。根据选择的加权矩阵，通过matlab编程计算：A=[0 1 0 0;0 -0.08832 0.62932 0;0 0 0 1;0 -0.23566 27.82853 0];B=[0;0.8832;0;2.3566];C=eye(4);D=[0;0;0;0];Q=diag([10,0,50,0]);R=0.01;K=lqr(A,B,Q,R);得到此时的反馈矩阵：K=[-31.6228 -22. 8868 92.2652 16.8011 ]。4.2 在SIMULINK中仿真在SIMULINK中进行LQR建模，如图3所示：图中space1 表示不加状态反馈时的状态空间模型，参数分别为A1，B，C，D，scope1是其对应的输出；space2表示加上状态反馈时的状态空间模型，参数分别为A1，B，C，D，scope2是其对应的输出。图3simulink仿真模型图运行后，得LQR控制前后的图形如图4.、图5所示：图4 加入增益反馈前系统的输出图5 加入增益反馈后系统的输出由以上两图对比可以发现，加入增益反馈矩阵前，系统与原始信号有一定的偏差，无法达到稳定状态；加入增益反馈矩阵后，系统经过短时间的调整可达到稳定状态。仿真结果说明LQR最优控制法对该系统的控制有效，可以快速稳定的控制倒立摆系统，从而验证其是一种可行的控制方法。五、结论本文以一级直线倒立摆为研究对象，首先建立了其两种数学模型，从现代控制理论出发分析了系统的相关性能。用最优控制法对模型进行了控制，通过MATLAB编程得到状态反馈矩阵，通过SIMULINK仿真验证了控制的性能。可知线性二次最优控制法保证了稳定性和快速性，具有优越的性能。