上海浦东高中数学课外补习班 高三 函数2：奇偶性与对称性.doc

一．对称问题的两个类型： A．单个函数的对称性（1）轴对称；（2）中心对称 例1. （1）证明函数关于直线对称；（2）证明函数关于点（1，2）对称 练习：（1）已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)．若方程f(x)＝0有三个根，并且已知x＝0是方程的一个根，求方程另外两个根．已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(－，0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(2)＝1，f(3)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2006)的值为________． （2）已知函数对一切实数x满足条件，已知时，，则时， B．两个函数的对称性：（1）轴对称；（2）中心对称 要求：区分两类，不照搬结论，只需能求一个函数的对称函数 例3. 函数关于x轴对称的对称函数为 ；函数关于y轴对称的对称函数为 ； 函数关于原点对称的对称函数为 ；函数关于直线x=2对称的对称函数为 ；函数关于直线x=2对称的对称函数为 ；函数关于直线x=2对称的对称函数为 练习：函数关于直线的对称函数为 ；函数关于点（3，0）对称的对称函数为 例4. 设函数f(x)定义在实数集R上，则函数y＝f(1－x)与函数y＝f(x－1)的图像关于直线________对称；若f(1－x)＝f(x－1)，则f(x)图像关于直线________对称将奇函数y＝f(x)的图像沿x轴正方向平移1个单位后所得的图像是C，又设图像C1与C关于原点对称，则C1对应的函数是(　　) B． C． D． （3） （4） （5） （6）= （7） （8） 例6. （1）已知函数在R是偶函数，且当时，，则时= （2）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则= 例7. （1）函数在定义域内是奇函数，实数=________ （2）定义在上的奇函数，则常数 , （3）若函数是奇函数，则a= 例8.（1）设，其中实常数．讨论函数的奇偶性 （2）已知函数，判断的奇偶性 例9.（1）已知是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集为 （2）已知是定义在(－1,1)上的奇函数, 在区间上单调递减，且，求实数a的取值范围 例10. （1）设，和分别是D上的偶函数和奇函数，且，求与的解析式 （2）设，试把写出一个偶函数和一个奇函数的形式 例11.（1）已知函数对于任意的实数m,n都有，判断该函数的奇偶性并说明理由。 （2）定义在实数集上的函数，对任意，都有，且.（1）求证： （2）求证：是偶函数 【课后练习】 1. 函数的图像关于原点对称是为奇函数的 条件；为奇函数是的 条件 2. 奇函数，的值域为 3. 已知函数与的定义域均为，若两函数均为奇函数，则函数的奇偶性是 ；若 为奇函数，为偶函数，则的奇偶性是 4. 已知，若，则 ；已知，若，则 5. 已知函数在R是奇函数，且当时，，则的解析式是 6. 定义在上的奇函数在时的图像如下图所示，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D． 7. 已知为奇函数，则实数= ；函数在定义域内是奇函数，则 8．已知函数满足：对任意实数都有，则函数的图像（ ） （A）关于对称 （B）关于轴对称 （C）关于点对称 （D）关于点对称 9. 判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 10. 定义在上的偶函数单调递减，若求实数m的取值范围 11. 已知函数，（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，讨论函数在区间 上的单调性。 12. 已知函数在定义域D上是奇函数，(其中且)． (1)求出m的值，并求出定义域D；(2)判断在上的单调性，并加以证明； 高三 函数2：奇