圆锥曲线教案 抛物的定义及其标准方程教案.doc

圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案 ? 教学目标 1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题． 2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明． 3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点 抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程 师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义． 生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线． (计算机演示动画——图2-45) (1)不妨设定点F到定直线l的距离为p． (2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础． 师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！ (可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．) 师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46) 我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹． 师：你见过这种曲线吗？(抛物线) 这就是我们这节课主要的研究对象． (师板书课题——抛物线的定义及其标准方程) 师：能否给抛物线下个定义？ 生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计． 如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为： 如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为： 在方程中都仅有x、y的二次项． 当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？ 生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式． 师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？ 学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)． 师：点M满足什么条件？ 生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？ 请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1) 师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式． 师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致． 师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48) 师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由． 观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点． 生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一． 不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号． 开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号． 师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影) 例1? (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程． (2)分析? 要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值． 例2? 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49) 师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？ (师板书) 故y1·y2=-p2． 师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？ 生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2． 引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？ (计算机演示动画——图2-51) 师：