圆锥曲线教案_利用锥曲线定义求最值教案.doc

圆锥曲线教案 利用圆锥曲线定义求最值教案 ? 教学目标 1．通过对一个习题及其引申问题的求解，使学生掌握利用圆锥曲线的定义求解有关最值问题的方法． 2．通过对问题的不断引申，精心设问，引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性与批准性．提高学生分析综合能力及探索发现能力． 3．通过营造民主、开放的课堂教学氛围，培养学生敢想、敢说、坚韧不拔的意志及勇于探索、发现、创新的精神等个性品质． 教学重点与难点 巧用圆锥曲线的定义求有关线段长之和的最值既是重点又是难点． 教学过程 师：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的有关概念、标准方程、图形和性质．现在我想请三位同学分别回忆一下椭圆、双曲线、抛物线的定义． 生1：平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点的轨迹称为椭圆． 生2：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的动点的轨迹称为双曲线． 生3：平面内与一个定点及一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 师：生1、生2、生3的回答都是正确的．对于圆锥曲线，除了刚才说的定义以外，还有别的定义方式吗？ 生4：还有第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比等于常数e(e＞0)的点的轨迹是椭圆(0＜e＜1时)、双曲线(e＞1时)或抛物线(e=1时)． 师：很好！圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线中最原始、最本质的数量关系，它有着广泛的应用，本节课我们将利用圆锥曲线定义求解几个最值问题． (板书)例已知动圆A过定圆B：x2+y2+6x-7=0的圆心B，且与定圆C：x2+y2-6x-55=0相内切，求△ABC面积的最大值． 师：本题欲求结果是什么？据此你联想到些什么？ 生5：求ABC的最大面积，应联想：三角形面积公式． 师：请回忆，三角形面积怎样表示？ 师：你们准备选用哪一个公式？请简要说明理由． 生6：选第一个公式．这是因为B、C都是定圆圆心，故它们都是定点，因此BC是定长，这样只须求出BC边上高的最大值就可以了，而第二组面积表示式中的3个公式中除了BC边的长即a不变以外，其余的边和角都在变，不易求面积． 师：有道理，下面我们就按生6的方案来求解．关键的问题是BC边上的高的最大值怎么求？请大家思考． 生7：由于圆A运动，所以BC边上的高随圆A的运动而变化，从而导致△ABC面积的变化，因此如果先求出A的轨迹，那么就不难求出BC边上高的最大值了． 师：(赞许地)很好！那么如何求A的轨迹呢？ 生8：(师板书)将两已知圆配方得⊙B：(x+3)2+y2=16． ⊙C：(x-3)2+y2=64．所以B(-3，0)，C(3，0) ⊙C的半径r=8．画出⊙C与⊙A相内切的图形(如图2-64)，利用两圆内切的性质及椭圆的定义可判定A的轨迹是椭圆． 师：能说得具体些吗？ 生8：设已知圆C与动圆A内切于点P，则P、A、C必在同一条直线上，且|PC|=8． 因为|AP|=|AB|， 所以|AB|+|AC|=|AP|+|AC|=|PC|=8． 所以点A的轨迹是椭圆． 师：生8仅根据|AB|+|AC|=8，就判断A的轨迹是椭圆，对吗？ 生9：基本正确，但应说明|AB|+|AC|＞|BC|． 生8：对了，|AB|+|AC|=8＞6|BC|． 所以，点A的轨迹是椭圆． 师：很好！我们已经确认点A的轨迹是椭圆，现在该如何确定△ABC面积的最大值呢？ 生10：当△ABC的高等于椭圆的短半轴长时，高最大，从而S△ABC最大． 师：同学们是否赞同生10的判断？ 生：……(有的赞同，有的相互小声议论．) 师：让我们借助于计算机演示一下点A的运动过程，请同学们认真观察A运动到什么位置时，△ABC底边BC上的高最大． (计算机演示动画如图2-65) 生：(几乎是异口同声地) 当|OA|等于短半轴长时，高最大． 师：哪位同学能快速地求出△ABC中BC边上高的最大值？ 师：怎么得到的？请介绍给同学们听听． 生：显然BC是椭圆的两焦点，故c=3．又2a=8， 师：生11不但求出了BC边上高的最大值，而且还求出了△ABC的最大面积，使我们的问题获得了解决．这里同学们把平面几何与解析几何知识有机地结合了起来，利用椭圆定义对点A的轨迹作出了正确的判断，从而使问题的求解势如破竹．显然，广泛联系，巧用定义，在本题求解中起着至关重要的作用． 师：现在在例题的条件下，我们将问题作如下引申： 引申1：设点A的轨迹为Q，M(2，1)为定点． 求|AM|+|AC|的最小值． 师：这是一个什么问题？ 生12：求最小值问题，确切地说是求动点A到两定点C、M的距离之和的最小值． 师：不错！那么如何求|AM|+|AC|的最小值呢？ 生：……(似乎一时束手无策) 师：(启