圆锥曲线中的范围问题-答案.docVIP

1．圆锥曲线中的范围问题 2．圆锥曲线中的存在性问题 3．圆锥曲线中的证明问题 4．定点问题 5．定值问题 6．最值问题 热点一 圆锥曲线中的范围问题 (1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系． (2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理． [例1]　已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m3)与椭圆E：＋＝1(ab0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切． (1)求m的值与椭圆E的方程； (2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围． [自主解答]　(1)将点A的坐标代入圆C方程， 得(3－m)2＋1＝5， m3，m＝1. 故圆C：(x－1)2＋y2＝5. 设直线PF1的斜率为k， 则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. 直线PF1与圆C相切，＝， 解得k＝或k＝. 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去； 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4. c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)． 2a＝|AF1|＋|AF2|＝5＋＝6， a＝3，a2＝18，b2＝2. 椭圆E的方程为＋＝1. (2) ＝(1,3)．设Q(x，y)，则＝(x－3，y－1)， ·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6. ＋＝1，即x2＋(3y)2＝18. 而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，－18≤6xy≤18， 则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]， 即x＋3y的取值范围是[－6,6]， 又·＝x＋3y－6， ·的取值范围是[－12,0]． ——————————规律·总结——————————————————————解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． [例]．已知椭圆C：＋＝1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围． 解：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1. 因为椭圆C的离心率为， 所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)当MNx轴时，显然y0＝0. 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)． 由 消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0， 则x1＋x2＝. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)， 则x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝. 线段MN的垂直平分线的方程为 y＋＝－. 在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝. 当k0时，＋4k≤－4；当k0时，＋4k≥4. 所以－≤y00或0y0≤. 综上，y0的取值范围是. [例]．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N分别为其左、右顶点，过F2的直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足||＝||＋||. (1)求此椭圆的方程； (2)当直线l绕着焦点F2旋转但不与x轴重合时，求·＋·的取值范围． 解：(1)当直线l与x轴垂直时， 由S四边形AMBN＝·2a·＝2，得b＝1. 又||＝||＋||， 所以a＋c＝·＋a－c， 即ac＝，又a2＝c2＋1，解得a＝. 因此该椭圆的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，而M(－，0)，N(，0)，所以＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)， ＝(－－x2，－y2)，＝(－x2，－y2)． 从而有·＋·＝(－－x1)(－x1)＋y＋(－－x2)(－x2)＋y＝x＋x＋y＋y－4＝(x1＋x2)2－2x1x2＋(y1＋y2)2－2y1y2－4. 因为直线l过椭圆的焦点F2(1,0)， 所以可以设直线l的方程为x＝ty＋1(tR)， 则由