常微分方程第二章.docVIP

第二章 基本定理 我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础. 2.1 解的存在唯一性定理 对于一般的常微分方程 （2.1） 如果给出了初始条件，我们就得到了柯西初值问题 （2.2） 这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理. 2.1.1 存在唯一性定理的叙述 定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数在闭矩形区域 上满足如下条件： （1）在上连续； （2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上的任何一对点和有不等式： 则初值问题（2.2）在区间上存在唯一解 其中. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明： 1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数在闭矩形区域关于的偏导数存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为有界，故设，对，由拉格朗日中值定理得： 我们验证在闭矩形区域上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：在闭矩形区域上连续.由闭区域上连续函数的性质知：在闭矩形区域上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式： 在上连续在上存在且有界李普希兹条件 2、在定理2.1的结论中，解的存在区间为，其中 .为什么解的存在区间不是呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域，方程的解不能超出的范围，又因为，所以 即 由和得：， 因此，即夹在与之间. 又，与在上的存在区间为， 故的存在区间也是. 2.1.2 存在性的证明 首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解，等价于求解积分方程 （2.3） 事实上，如果是初值问题（2.2）的解，即有 且 从到积分得： 即是积分问题（2.3）的解. 反过来，如果是积分问题（2.3）的解，即有 则且 即是初值问题（2.2）的解. 经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解. 下面用皮卡（Picard）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤： 1、构造近似函数列 任取一个满足初值条件的函数作为首项（初始项），并要求在上的存在区间为：，简单起见，取，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用表示，并称为一次近似，即 再将代入方程（2.3）的右端就得到二次近似 序行此法，可以得到次近似 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有，即当时，有 下面用数学归纳法证明.显然，当时，有 假设，当时，有，那么，对于有 从而有 由数学归纳法知，当时，有 这样，我们就可以得到一个近似函数列. 2、证明近似函数列在区间上一致收敛. 由于无法得到的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数 （2.4） 它的部分和是 因此，证明的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间上一致收敛. 首先研究级数（2.4）的通项 即 所以 因为，，所以 由李普希兹条件，得 下面用数学归纳法证明 显然，的时候，不等式成立（上面已经给出）， 假设成立，那么对于的情形有 由数学归纳法知，对一切自然数，均