浙大版概率论第二章.ppt

如果连续型随机变量 X 服从参数为 的指数分布。 则其概率密度为 其分布函数为 则 X 的概率密度为 X 的分布函数为 如果 §5 随机变量函数的分布 在分析和解决实际问题时，经常要用到由一 些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量--- 随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自 身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.), 而关心的却是其截面积 (也是r.v.) 在本节中我们将论述如何由随机变量X的分 布导出它的函数 Y = g(X) ( g( . ) 是已知的连续函 数) 的分布。 （一） 离散型随机变量函数的分布 例1：设随机变量X的分布律为 解： 由X的分布律可得 由此可得 （二） 连续型随机变量函数的分布 例2：设随机变量X的概率密度为 求随机变量 Y = 2X+8 的概率密度。 解： 例3：设随机变量X的概率密度为 求随机变量 的概率密度。 解： §3 分布函数 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 （2）F(x)是单调非降函数 称为X的分布函数。 分布函数具有以下几个性质： §4 连续型随机变量及其分布 如果对于随机变量 X , 存在非负可积函数f (x), 使对于任意 a b, 则称X为连续型随机变量，其中函数f (x)称为X的 分布密度函数或概率密度函数，简称分布密度或 概率密度或密度。 连续型随机变量的概率密度函数 f (x)的性质： 都有 此式表明，f (x0)不是 X 取值 x0 的概率，而是 X 在 x0点概率分布的密集程度。 由 f (x0)的大小可反映 出 X 在 x0 点附近取值的概率大小。 在 f (x) 的连续点 处， 对连续型随机变量X，有 因此，如A是不可能事件，则 P(A) = 0, 但反之不然。 另外有： 以后当我们提到一个随机变量X的 “概率分布”时，当 X 是连续型随机变量 时指的是它的概率密度，当 X 是离散型 随机变量时指的是它的分布列。 例：设连续型随机变量X的概率密度为 解： 几个常用的连续型随机变量的分布 （一） 均匀分布 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 则称连续型随机变量X在区间 [a,b] 上服从均匀分布。 记为 在区间 [a,b] 上服从均匀分布的随机变量 X，具 有下述意义的等可能性：即它落在区间 [a,b] 中任意 等长度的子区间内的可能性是相同的。 例：已知连续型随机变量X在区间 [0,4] 上 服从均匀分布。计算概率： 解： X 的概率密度函数为 例：已知连续型随机变量X在区间 [0,4] 上 服从均匀分布。计算概率： 解： X 的概率密度函数为 （二） 指数分布 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 则称连续型随机变量 X 服从参数为 的指数分布。 在实际生活中，常用指数分布作为各种“寿 命” 分布的近似。如电子元件的寿命、动物的寿 命等都假定服从指数分布。 服从指数分布的随机变量X具有一个很有趣 的性质：无记忆性。 事实上， 无记忆性的理论解释： 已知某一元件已使用了s小时，则它总共能 使用至少s+t小时的条件概率， 与它从开始使用 时算起它至少能使用t小时的概率相等。 具体的例题可以参见教材第67页例20。 （三） 正态分布 正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布, 如测量时的误差、农作物的收获量、炮弹弹落点的分布、人的生理特征的尺寸（身高、体重等）、学生成绩的分布等都近似服从正态分布；一般说来，如影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用又不太大，且它们是相互独立的，而影响又是可以相互叠加的，则这个指标服从正态分布。这一点可以用概率论中的中心极限定理加以证明。（在第四章里将会介绍） 另一方面，正态分布具有很多良好的性质，它的分布 具有“两头小，中间大”的特点，许多分布可用正态分布来 近似；另外一些分布又可以用正态分布来导出。因此在理 论研究中，正态分布又有十分重要的地位。 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 则称连续型随机变量 X 服从参数为 的正态分布 或高斯(Gauss)分布， 记为 x f(x) 0 f (x) 具