第三版线代第四章.ppt

* * * * * * * * * * * 5.2.3 向量组的秩 任意给定一组向量，不一定是线性无关的. 例如，对于向量v1、v2 、v3、v4 、v5 ，其中 部分组，可以列出的有: 容易看出, 这组向量是线性相关的, 因为向量 的个数是5, 大于每个向量的维数4. 可能是线性无关的, 现考察其成线性无关的那些 但它的部分组 单个向量v1; 或 v2; … ; 或v5. 两个向量v1、v2; 或v1 v3；… ; 或v4、v5. 三个向量v1、v2 、v4；或v1、v2 、v5；或v3、v4、v5 （2）把原向量组的任一向量加进去，就成线性 而任意的四个向量都是线性相关的. 这样, 上列 这些由三个向量组成的部分组如v1、v2 、v4等, 都满 足这样两个条件： （1）线性无关； 相关向量组. 正是在这种意义上，可将满足这两个条件的 的最（或极）大线性无关[部分]组. 任一部分组, 如v1、 v2 、 v4等, 称为给原给向量组 一地线性表出. 根据定理5，上述条件（2）的一种等价说法是， 原给这组向量中任一向量皆可由此部分组的向量惟 此部分组之惟一确定的线性表出式可明显地写出为 事实上，例如对v1、 v2 、 v4 , 原给每个向量依 根据以上讨论, 一般地引入一组向量组的最大 线性无关组的概念. （1）线性无关； 定义4 给定一组向量v1、…、vk之具有如下两条 性质的部分组 为最大线性无关[部分]组： （2）每个向量v1、… 、vk皆可依其线性表出. 试用初等矩阵的方法求其最大线性无关组. 例7 对上面提到的这组向量v1、v2、v3、v4、v5， 向量个数是确定的（后面给出证明），故可引进 如在示例中明显看到，一组向量的最大线性 无关组可以不止一个，但不同最大线性无关组的 向量组秩的定义. 定义6 若 是给定向量组 所含向量的个数为给定向量组的秩. 的一个最大线性无关组，则称该最大线性无关组 显然, 任一线性无关向量组的秩就是所含向量 的个数，而只含零向量的组其秩为零. 依次定义，从上面的讨论可归结出：矩阵的秩 等于其列向量所成集合的秩. ｛b1、 … 、bs｝。若前一组线性无关，并且每个向量 aj(j=1,…k)皆可依后一组的向量线性表出，则k≤ s. 对给定的两个向量集｛a1、… 、ak｝； 定理6 推论 一个向量集的不同最大线性无关子集含有的向量个数都相等。 4.2.3 关于矩阵秩的定理 ｛b1、 … 、bs｝。若前一组的每个向量aj(j=1,…k)皆可 依后一组的向量线性表出，则前一组的秩不超过后 对给定的两个向量集｛a1、… 、ak｝； 定理6’ 一组的秩. 对给定的两组向量, 若前一组的每个向量皆可 依后一组向量线性表出, 同时, 后一组的每个向量 也可藉前一组向量线性表出, 就称这两组向量等价. 特别, 每组向量均与其最大线性无关组等价. 定理4?可知，两组等价向量的秩必相等. 而根据 矩阵秩的性质. 定理7 若A、B是两个任意的m ? n矩阵， ? 是不等于零的数，则 (4-14) (4-1) 若A是m ? n矩阵，B是n ? p矩阵，则 以及 (4-15’) (4-15) 推论2 设是任一 m ? n矩阵,而B是m(或)n阶 满秩矩阵,则必有 (或 ) 4.3 向量的正交性 4.3.1 内积 正交向量集 定义6（内积） 对Rn空间的向量 a,b, 称数 为a,b的内积。 并对任一向量 a∈Rn ，称数 为a的范数，记作 。 从定义直接看出： a与b的内积等于b与a的内积。 ，当且仅当 时 。 对任一非零向量a，向量 的范数为1，记作 或 。范数为1的向量被称为单位向量，从非零向量到单位向量称为是规范化 。 代数中著名的柯西-斯瓦茨不等式 可写作 可据此，当 时，必有 定义 称 为a,b的夹角。 特别地，在 时，即 时，称a与b 是正交向量。 若一个向量集中的向量两两正交，就成此向量集为一正交向量集，由于零向量是平凡地与任一向量都正交的，故在谈及正交向量集时，常要排除含零向量这一意义不大的情形。 一个n阶矩阵，若其列向量集是规范正交向量集，称这个矩阵为正交矩阵。 正交矩阵Q的特征性质可描述为 或 以下两个定理，揭示了向量集的正交性与线性无关性这两个概念间的关系，这在几何上是非常明显的。 定理9 （Gram-Schmidt 正交化方法）设 a1、 … 、ak是线性无关向量集.