(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月8日).doc

【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月8日） 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内． 1．(2013·辽宁朝阳一模)在ABC中， M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D．1 解析　M为边BC上任意一点， 可设＝x＋y(x＋y＝1)． N为AM中点， ＝＝x＋y＝λ＋μ. λ＋μ＝(x＋y)＝. 答案　A 2．(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A. B. C. D. 解析　＝(3，－4)，则||＝5，所以与同方向的单位向量是. 答案　A 3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析　由(a＋2b)·(a－b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，得a·b＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝.故〈a，b〉＝. 答案　B 4．设ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析　依题意得sinAcosB＋cosAsinB＝1＋cos(A＋B)， sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sinC＋cosC＝1， 2sin＝1，sin＝.又C＋， 因此C＋＝，C＝，选C. 答案　C 5．(2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 解析　由已知得|a＋b|＝＝，易知c与a＋b共线时，可取得最值． 因为|c－a－b|＝1，所以－1≤|c|≤＋1. 答案　A 6．(2013·重庆卷)在平面上，，||＝||＝1，＝＋.若||，则||的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为的圆内，又，＝＋，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，||最大为，当P在半径为的圆周上，||最小为. 答案　D 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________. 解析　a，b均为单位向量，夹角为60°，所以a·b＝. 又b·c＝0. 即：b·[ta＋(1－t)b]＝0，得＋(1－t)＝0，解得t＝2. 答案　2 8．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________． 解析　·＝(＋)·＝2＋·－2＝2＋||·||cos60°－2＝1，把||＝1代入得||＝. 答案　 9．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且＝t＋(1－t)(0≤t≤1)，则·的最大值为________． 解析　＝t＋(1－t)， ＝t.又0≤t≤1， P在线段BA上运动． Q为上一点，设POQ＝θ， ·＝||||cosθ＝2||cosθ≤2||≤2×2＝4， 即当P，Q重合且位于A或B处时，·取最大值4. 答案　4 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知向量＝(3,1)，＝(－1，a)，aR. (1)若D为BC中点，＝(m,2)，求a，m的值； (2)若ABC是直角三角形，求a的值． 解　(1)因为＝(3,1)，＝(－1，a)， 所以＝(＋)＝. 又＝(m,2)，所以解得 (2)因为ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°. 当A＝90°时，由， 得3×(－1)＋1·a＝0，所以a＝3； 当B＝90°时，因为＝－＝(－4，a－1)， 所以由， 得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，所以a＝13； 当C＝90°时，由， 得－1×(－4)＋a·(a－1)＝0， 即a2－a＋4＝0，因为aR，所以无解． 综上所述，a＝3或a＝13. 11．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ. (1)若|a－b|＝，求证：ab； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 解　(1)由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所