二次函数性质一览表.doc

二次函数性质一览表 表达式 a≠0 a值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 最值 举 例 ①y ax2 a＞0 向上 y轴 （0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x 0时，y有最小值，即y最小值 0 y x2 y 3x2 a＜0 向下 y轴 （0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x 0时，y有最大值，即y最大值 0 y -5x2 y x2 ②y ax2+k a＞0 向上 y轴 （0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x 0时，y有最小值，即y最小值 k y 4x2+5 y 3x2-1 a＜0 向下 y轴 （0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x 0时，y有最大值，即y最大值 k y -2x2+3 y -3x2-2 ③y a x-h 2 a＞0 向上 直线x h （h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x h时，y有最小值，即y最小值 0 y 2 x-3 2 y x+2 2 a＜0 向下 直线x h （h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x h时，y有最大值，即y最大值 0 y -3 x-2 2 y -2 x+1 2 ④y a x-h 2+k a＞0 向上 直线x h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜h时，y随x的增大而减小 当x h时，y有最小值，即y最小值 k y 5 x-2 2+1 y 2 x-1 2-3 y 3 x+1 2+2 y 4 x+2 2-4 a＜0 向下 直线x h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜h时，y随x的增大而增大 当x h时，y有最大值，即y最大值 k y -2 x-1 2+3 y -3 x-2 2+1 y -4 x+1 2+3 y -5 x+2 2+4 ⑤ y ax2+bx+c 可化为： y a x+2+ a＞0 向上 直线x - （-，） ①当x＞-时，y随x的增大而增大 ②当x＜-时，y随x的增大而减小 当x -时，y有最小值，即y最小值 y 2x2+3x+4 y 3x2-3x+4 y 4x2-3x-4 y 5x2+3x-4 a＜0 向下 直线x - （-，） ①当x＞-时，y随x的增大而减小 ②当x＜-时，y随x的增大而增大 当x -时，y有最大值，即 y最大值 y -2x2+3x+4 y -3x2-3x+4 y -4x2-3x-4 y -5x2+3x-4 二次函数的有关知识 一、用代定系数法求二次函数表达式的方法 a≠0 ： 1、一般式：y ax2+bx+c [已知抛物线任意三点 x1,y1 , x2,y2 , x3,y3 可设一般式求得] 2、顶点式：y a x-h 2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点 x,y 可设顶点式求得] 3、两根式：y a x-x1 x-x2 [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点 x,y 可设两根式求得] 二、二次函数图象平移变换关系： 三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断： y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数） 四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系： 1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c 0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知 数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。 2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横 坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解。 五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系： 二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数 和常数项相同。 六、二次函数y＝ax2+bx+c,当a、b同号时，对称轴直线x＝－在x轴的负半轴，即y轴的左则；当a、b异号时，对称轴直线x＝ －在x轴的正半轴，即y轴的右则；当c＞0时，图象交于y轴的正半轴；当c＝0时图象一定过原点；当c＜0时，图象交于y轴 的负半轴。 七、任意一个二次函数y＝ax2+bx+c a≠0，不考虑b和c的取值 都可以化为y a x+2+的形式,即顶点坐标为 ， , 当x -时，y有最值，即y最值 ,对称轴是直线x -. 二次函数的性质及有关知识一览表 初中数学（高县柳