挑战数学中考压轴题因动点产生的相似三角形问题(含试题,含详解).doc

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挑战数学中考压轴题因动点产生的相似三角形问题(含试题,含详解)

第一部分 函数图象中点的存在性问题 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013年上海市中考第24题 如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13上海24”,拖动点C在x轴上运动,可以体验到,点C在点B的右侧,有两种情况,△ABC与△AOM相似. 请打开超级画板文件名“13上海24”,拖动点C在x轴上运动,可以体验到,点C在点B的右侧,有两种情况,△ABC与△AOM相似.点击按钮的左部和中部,可到达相似的准确位置。 思路点拨 1.第(2)题把求∠AOM的大小,转化为求∠BOM的大小. 2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM. 3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC与△AOM相似. 满分解答 (1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H. 在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°, 所以AH=1,OH=.所以A. 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点, 设y=,可得. 图2 所以抛物线的表达式为. (2)由, 得抛物线的顶点M的坐标为.所以. 所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. (3)由A、B(2,0)、M, 得,,. 所以∠ABO=30°,. 因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. △ABC与△AOM相似,存在两种情况: ①如图3,当时,.此时C(4,0). ②如图4,当时,.此时C(8,0). 图3 图4 考点伸展 在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似,求点C的坐标. 如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点C的坐标为(-4,0). 图5 例2 2012年苏州市中考第29题 如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C. (1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示); (2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻.双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在∠OQA=∠B的时刻,也存在∠OQ′A=∠B的时刻. 思路点拨 1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等. 2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示. 3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上. 满分解答 (1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, ). (2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC. 因此PD=PE.设点P的坐标为(x, x). 如图3,联结OP. 所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO==2b. 解得.所以点P的坐标为(). ,得A(),OA=1. ①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA. 当,即时,△BQA∽△QOA. 所以.解得.所以符合题意的点Q为). ②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。 因此△OCQ∽△QOA. 当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°. 所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得.此时Q(1,4). 图4 图5 考点伸展 第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况. 这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置. 如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?

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