基本计数原理和排列组合(概念复习及专题训练含答案).docVIP

第一章 计数原理 ———基本计数原理和排列组合（概念篇） 概念回顾： （一）两个原理. 1. 加法原理 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数件物品放入个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？解：种1、排列 排列数从个不同元素中取出个元素排成一列，称为从个不同元素中取出个元素的一个排列. 从个不同元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示. 排列数公式： 注意： 规定 含有可重元素的排列问题对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集有个不同元素其中限重复数为，且则的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 组合组合数从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 从个不同元素中取出个元素的一个排列数，用符号排列数公式：：规定两个公式：① ② 二、基础训练： 1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个 2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） （A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种 3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） （A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种 ．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A） l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D） 21：23 ．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A）42031 （B）42103 （C）42130 （D）43021 ．若直线方程的系数可以从1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是 （ ） （A）一2 B） （C）+2 （D）－2 7．从这五个元素中任取四个排成一列，不排在第二的不同排法有（） （A） B） （C） （D） 11.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种． 三、解题方法及训练： 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 1、0、1、2、3、45个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（30个） 2、7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600) 3、6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240） 4、 排列组合应用题往往和数学其他章节某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知识对答案进行取舍。 例如：从集合中任取3个元素分别作为直线方程中的A、B、C（答案：30） 5、个 相同小球放入个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段（插入块隔板），有种方法 练一练： 例1 求不同的排法种数： （1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻． 解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决： （2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决： 另法：用捆绑与剔除相结合： （3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位： （4）是 “不相邻”问题，可以用插