1979年(高考数学试题文理科).docVIP

一九七九年（理科） 一．（本题满分6分） 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z成等差数列。 证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y2 =(z+x-2y)2=0 ∴2y=x+z,所以，x,y,z成等差数列。 二．（本题满分6分） 三．（本题满分6分） 甲，乙二容器内都盛有酒精。甲有V1公斤，乙有V2公斤。甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2。问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？ 四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理。 证：略。 五．（本题满10分） 外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域。设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β。问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ P A α β B C 解：作PC⊥AB于C，设PC=d， 在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ ∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）。 当d≤D，即ctgα+ctgβ≥时，应向外国船发出警告。 六．（本题满分10分） 设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角。 C V D A B 求证：△ABC是锐角三角形。 证一：设VA=，VB=b，VC=c，AB=p，BC=q，CA=r。 于是p2=2+b2, q2=b2+c2, r2=c2+2。 同理，∠ABC，∠BCA也是锐角。 证二：作VD⊥BC，D为垂足。因VA垂直于平面VAC，所以 VA⊥BC又BC⊥VD，所以BC垂直于平面VAD，从而BC⊥AD 及在△ABC中，A在BC边上的垂足D介于B和C之间。因此， ∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角。 七．（本题满分12分） 美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x应满足 100（1+X)40=500,即（1+X)40=5. 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5. 又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有 x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四。 C E F A B D 八．（本题满分12分） 设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B。求证： 证：连接CD。因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径， 又AB切圆O于D， ∴CD⊥AB。又在直角三角形ABC中，∠ACB=900， ∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA。 又因 BD2=BC·BF，AD2=AC·AE。 由（1）与（2）得 九．（本题满分14分） 试问数列前多少项 的和的值最大？并求这最大值。（lg2=0.301) 解：该数列的第k项为： 所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2。要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数。因此