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因式分解 例1. 计算： 例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。 解： 例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。 解： 1. 证明：能被45整除。 2 化简：，且当时，求原式的值。 2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当时，有 （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 例：已知多项式有一个因式是，求的值。 3. 在几何题中的应用。 例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。 题型展示： 例1. 已知：， 求的值。 例2. 已知， 求证： 例3. 若，求的值。 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 已知：，求的值。 3. 若是三角形的三条边，求证： 4. 已知：，求的值。 5. 已知是不全相等的实数，且，试求 （1）的值；（2）的值。 4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ） 例2. 分解因式 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 例3. 分解因式：____________ 解： 5、题型展示： 例1. 分解因式： 解 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解： 例3. 分解因式： 1. 填空题： 2. 已知： 3. 分解因式： 4. 已知：，试求A的表达式。 5. 证明： 5、用十字相乘法把二次三项式分解因式 【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：，求x的取值范围。 分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足 ，求长方形的面积。 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。 5、题型展示 例1. 若能分解为两个