数学在物理解题中的应用1.doc

数学在物理解题中的应用 （洛阳市第十九中学 徐学金 数学是解决物理问题的基本工具和途径，应用数学知识处理物理问题是新课标高考《考试大纲》中要求考查的五种能力之一。《考试大纲》中明确要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。利用数学解决问题的如下： 例1.（2008年四川延理综考卷）两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图1所示。己知小球a和b的质量之比为，细杆长度是球面半径的倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 A．450 B．300 C．22.50 D．150　 解析：由题目中的数据可以得出，abO三点组成一个等腰直角三角形。所以两底角都为。对两球进行受力分析，由于球面光滑，所以两球都只受到3个力，如图2所示：重力、球面的支持力、刚性细杆的弹力。由于是刚性细杆，所以刚性细杆对两球的弹力均沿着杆方向，且对两球的弹力大小相等。两球处于平衡状态是，两球受到的合力都为零。两球受到的三个力都组成一个封闭的力的矢量三角形。再由正弦定理列出等式。 对球：，对球：，所以：，即，所以。答案D正确。 余弦定理的应用 余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积 例2、（2007宁夏理综）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。 ⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。 ⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图3）。求入射粒子的速度。 解析：⑴由于粒子垂直AP入射，则AP是粒子圆轨迹的直径有 r1=0.5d 设粒子速度为v1，根据牛顿第二定律 解得 ⑵连接PQ，并且作PQ的中垂线交AP于O′点，则O′为轨迹的圆心，如图4。设粒子的入射速度为v2，轨道半径为r2。在⊿O O′Q中有 O O′= R+ r2 –d，OQ=R，O′Q=r2，（R+ r2 –d）2= R2+ r22-2 R r2cosφ 连立以上二式化简得 相似三角形 相似三角形法：通常是寻找一个矢量三角形与一个几何三角形相似，由对应边成比例列出方程求解。这一方法常用来解决三力平衡问题和几何光学问题。 （1）相似三角形在力学中的应用 例3、（1993年全国高考试题）两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M、N点,M、N两点间的距离为s,如图5所示．已知两绳所能经受的最大拉力均为T,则每根绳的长度不得短于?????? ． 解析：以质量为m的物体为研究对象进行受力分析可知：物体受三个力作用：重力mg、两根绳子的拉力大小相等。如图6所示。 设每根绳子的长度不得低于L，绳子的最大拉力为T。将重力mg沿绳子方向分解为G1和G2，G1=G2=T。由题意和平行四边形定则可知：平行四边形OG1CG2是菱形。利用△OBN与△ODG1相似可得： 解得： 又例：（09·江苏物理）用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，如图7所示，已知绳能承受的最大张力为，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（取） （ ） A． B． C． D． 此题也可以用相似三角形法，解题思路与例3题一样。答案A。 例4、试推导物体做匀速圆周运动的向心加速度的表达式： 推导：推导向心加速度大小关键是用线速度v和半径R等物理量表示中的△v。 如上图8所示，vA vB是时间间隔△t前后的速度，为了求两个之差△v=vA-vB，移动vA使它们的起点放在一起，这样就构建起一个矢量三角形，由图8（乙）可见，这个矢量三角形与几何三角形AOB相似。则对应边成比例。 由于是匀速圆周运动， 上式可以写成： 两边同除以△t得