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矩阵与变换 本章从变换和映射的观点，并以二阶矩阵为例，讨论了矩阵及其有关性质，主要有矩阵与向量的乘法、矩阵所表示的变换、矩阵的乘法及逆矩阵的意义、线性方程组的意义及求解、矩阵的特征值与特征向量等，以新的视角展示矩阵的一些应用。 第一节 二阶矩阵与平面向量的乘法及其所表示的变换 1 矩阵 — 一种特殊的映射（变换） 我们知道，矩阵是若干个数依一定的行列次序排列而成的一种数表结构，在《高等代数》里已学习过有关矩阵的知识和性质。实际上，从另一个角度看，矩阵也是一种特殊的映射或变换，这可以从矩阵与向量（列向量）的乘法运算，矩阵与矩阵的乘法运算及矩阵所满足的运算律和不满足的运算律等方面得到说明。 1．1 矩阵与向量乘法的意义 设是一个二阶矩阵，列向量=，则 === 实际上，从变换的角度看，二阶矩阵与列向量相乘，最终结果仍然是平面上的列向量=，即矩阵将变换成一个新的向量。不仅如此，矩阵变换还可以把平面上的直线变成直线，即：。事实上， 设= = 则+= 又 == = 所以 1．2 矩阵表示的变换 如果是一个从集合到集合的映射，通常记为：，读作“变换（或映射）到”或者“是到的变换(或映射)”。取一矩阵，如，这个矩阵可以理解为线性方程组 的系数矩阵，换个角度看，就会发现：若是已知的，则这一对方程可以用来确定和这两个数，也即可以用这一对方程去定义一个变换，这一变换由表达式或者所确定，这个变换称为由矩阵所确定的线性变换（映射）。 一般地说，对已给的22矩阵 ，可以定义由所确定的线性变换，它就是由表达式 所确定的变换。 下面，我们看几个用矩阵所表示的常见线性变换。 1．恒等变换 例1 设，则由所确定的线性变换为,这一变换由表达式给出。它表示的几何意义为：把中的每个向量（或向量表示的点）映射为自身，这样的矩阵所表示的变换为恒等变换，见图1。 2．反射变换 例2 设 ， 则由所确定的线性变换为 ,这一变换由表达式即给出。几何意义是：把中的每个向量映射成与轴对称的向量（见图2），称为轴反射。 图2 对于轴的反射 图3 对于直线的反射 例3 设 ， 由所确定的线性映射 由表达式即给出，它的几何意义为把中的每个向量变成与直线对称的向量（如图3），称为关于轴反射。 像例2、例3这类矩阵所表示的变换我们称为反射变换。 3．伸压变换 例4设 ， 由所确定的线性映射 由表达式即给出，它的几何意义为把中的每个向量沿平行于轴方向压缩，如图4所示。 图4 一般的伸缩变换我们用矩阵来表示,其中。 4．水平推移变换 例5 由矩阵 所确定的线性变换： ，其中是某个给定的实数，这个变换由表达式或表示。它的几何意义是把中的每一个点或该点的径向量水平推移了一段正比于的距离，当,点的径向量沿一个方向移动（如果向右移动，如果向左移动），反过来，当，点的径向量向相反方向移动（如图8），如果，则是恒等变换，注意在轴上的点在下是保持不变的，这个变换称之为水平推移变换。