九年级上证明二讲义.doc

第一章：证明(二) 考点1：利用定理证明 一、考点讲解： 公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等 公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行． 公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等． 公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等． 定1. 平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补． 定2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 定3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角． 定4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等． 定5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心） 定6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） 定7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理． 二、经典考题剖析： 【1】如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点． （1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH= GH． 证明：（1）在△ADE中，AD=AE，F是DE的中点 ∴ AF是等腰△ADE 底边DE上的中线 ∴ AF⊥DE． （2）连结GC．∵AF⊥DE H是AC 的中点 ∴FH是Rt△AFC斜边 AC上的中线 ∴ 同理： ∴FH=GH 【2】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. (1) ①∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB ②∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ∵AC=BC ∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE， 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD－CE=BE－AD. 三、针对性训练 1．如图1－1－4，Rt△ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高；DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则图中与∠C（除∠C外）相等的角的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图1－1－5，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=α，则∠A等于（） 3．如图1－1－6，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可作出（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 4．如图1－1－7，△ABC是直角三角形，BC是斜边，△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP重合， 如果AP=3，那么PP′的长等于（ ） A．3 B．2 C．3 D．4 5．如图1－1－8，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=2 cm，则DE=________cm． 6、如图1－1－9，在△ABC和△DEF中，已知