2008届全国百套数学模拟试题分类汇编-083圆锥曲线解答题a.doc

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 三、解答题(第一部分) 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （Ⅱ）l与椭圆交于不同的两点C、Dl的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知 设P（x，y），则 ， ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3； 当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k 直线l的方程为 由方程组 依题意 当时，设交点C，CD的中点为R， 则 又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 2、)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程； （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. 解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x. 假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形. （ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形， ， ， ∠CAB为钝角. . 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是: . 解法二： 以AB为直径的圆的方程为: . 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A， B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. . . A，B，C三点共 线，不构成三角形. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是： 3、)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在该双曲线上； （2）若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。 解：（1）略；（2）A(2+,2－), B(2－,2+)或A(2－,2+), B(2+,2－) 4、)为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程． 解：（Ⅰ）由题意可得直线l： ① 过原点垂直于l的直线方程为 ② 解①②得． ∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． ∴， ∴抛物线C的方程为． （Ⅱ）设，，， 由，得． 又，． 解得 ③ 直线ON：，即 ④ 由③、④及得， 点N的轨迹方程为． 5、2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为， （1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程； （2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点； 解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为， 联立消整理，得；∴， 又依题有，∴，∴抛物线方程为； （2）设，，，∵， ∴的方程为； ∵过，∴，同理 ∴为方程的两个根；∴； 又，∴的方程为 ∴，显然直线过点 6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足. （I）求点G的轨迹C的方程； （II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由. Q为PN的中点且GQ⊥PN GQ为PN的中垂线|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ………5分 （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形 若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由 矛盾，故l的斜率存在.