折叠图形难题.doc

折叠图形 国2010-64 【解析】B。为便于讲解，我们先给6个面编号，如下图： 一般来说，如果平面图形中几个面在一条直线上，相隔的面就是相对面。比如下图的1、3、4、6面在直线上，那么1、4和3、6是两对相对面，那么剩下另一对2、5也是一对相对面。 但是此题图形没有三个面在一条直线上，所以相对面需要通过我们空间想象或者分析判断。 再如1号面，经过顺时针或者逆时针旋转90度后，会变成，跟3号、6号面一样。 所以此题较难，一是因为相对面比较难找，二是因为有四个面是相似的图形，旋转后斜线方向会跟其他面混淆。 一、找相对面，排除选项。 首先，我们可以通过相对面做出排除。那么哪3对面是相对面呢。 方法一：空间想象。 回到题干中的图形，我们先看1、2、3、4号面。 如果有一定得空间想象力，我们可以看出1号面是向左后方折，3、4号面是个整体向后下方折，然后4号面再向下折。也就是如下图所示： 4号面向下折 特别说明的是，有人在课堂上提出往哪个方向折，会不会往外折。这显然是不可能的，最终折出后六个面的图形要跟平面匹配，如果往外折，一个面都看不到，所以这里不用纠结，一定是往里折的。 如果完全折起应该是两条蓝色的线a、b重合，两条绿色的线c、d重合。那么我们可以看出，1、4号面是相对面。同理我们可以得到3、6号面是相对面，那么只剩下2、5号面，它们也构成一对相对面。 2、5号面相对，我们可以很快地排除掉CD选项。 方法二：分析判断。 我们知道，正六面体有6个面，12条线，8个顶点构成。每1个面有4条线、4个顶点，每1条线与2个面相邻，连接2个顶点，每1个顶点会发出3条线，3个面。如下图所示，红色点为1个顶点，从这个点发出a、b、c共3条线，这个顶点还同时与1、2、3号面相连。 通过以上我们可以推断，如果一个平面图上有一个点连着3个面，那这3个面的关系肯定也如上图1、2、3号面一样，两两相邻。如果一个点连着4条线，那么肯定有2条线折叠后会重合，因为1个点只能发出3条线。那么哪2条线会重合呢，刚刚提到过每1条线与2个面相邻，如果1条线在平面图上只属于1个面，那么这条线就是要重合的，我们再根据公共点找到另一条只属于1个面的线。 以本题为例，上图为题干的平面图形，点C连着1、2、3号面，那么折叠后这三个面也应该是两两相邻。同样C点连着CB、CD、CL、CN四条线，肯定有2条线折叠后会重合，根据上一段提到的，CB、CD这种在平面图上只属于1个面的两条线将重合。同样我们也可以推断出点E、J、L三个点附近的面、线关系。 如果知道以上关系，我们很快就能看出，LK、LM将重合，2号面和4号面将相邻，且公共边为LM，LM与CN平行，与一个面两条平行相对的线相邻的面一定是一对相对面，这样我们就能知道1、4号面相对。同理可得3、6号面相对，那么只剩下一对面2、5号面，它们也是相对的。 2、5号面相对，我们可以很快地排除掉CD选项。 二、确定参照面，分析相邻面是否正确。 我们已经排除了CD选项，AB选项无法排除，需要我们观察是否正确。观察折叠图形是否正确，需要我们先确定一个面为参照，然后再找第二个面是否能符合，如果两个面确定了，再看第三个面的位置是否正确。我们在选择第一个面时，应注意选择出现次数尽量少的面，比如AB选项 正面的图形我们可以确定分别是5号面和2号面，但是顶面和侧面的图形，1、3、4、6号面都可以通过旋转得到或者，这一点我们上面已经讲过。在AB两个选项中，我们应该首先选择A选项进行观察，因为A选项5号面有两种翻转可能，一种是如平面图所示，另一种是将整个图旋转180度，5号面图形保持不变。而2号面旋转90度后还是一样的图形，要观察4次。所以先选择A选项来观察。 首先我们发现A选项的正面和侧面与5、6号面相对应，那我们要看顶面是不是如A选项所示。那么顶面应该是哪一面呢，通过空间想象，你能想的出来吗？即使我告诉你顶面应该是1号面翻上去，你知道翻上去后是还是吗？显然对于空间想象力要求过高。 我们可以接着上面讲的第二种找相对面的方法往下分析。 我们刚刚讲过，一个点如果已经射出四条线，那么两个只属于一个面的线将重合。以C点为例，CB、CD两条线将重合，那么点B、点D会重合，ED、EF两条线将重合，那么点D、点F会重合，所以B、D、F三点会重合，重合后的点就连着1、3、5号面，所以1、3、5号面也会两两相邻。如果通过空间想象，是很难很快看出1、3、5号面的关系的。 5号面已经与3、4、6号面相邻，且3号面在左侧，6号面在右侧，4号面为底面。1、3、5号面两两相邻，那么1号面肯定会翻到5号面的顶面。B点和F点重合，在1号面内部B点会向对角射出一条直线，一个平面内图形的相对关系是不会经过旋转、翻转后改变的。所以1号面翻到上面后，也一定会从B点