实验三(差值与数值积分)精读.docx

 一、 实验目的 1. 掌握用Matlab计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析； 2. 掌握用Matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分； 3. 通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。 二、 实验内容 准备工作： 编制计算拉格朗日插值的M文件。对于数值给出的函数，编制用辛普森公式计算定积分的程序，命名为simp.m文件。 首先编写计算拉格朗日差值的M文件如下： function y=lagr(x0, y0, x) n=length(x0); m=length(x); for i = 1:m; z=x(i); s=0; for k = 1:n; p=1; for j = 1:n; if j ~= k p=p*(z-x0(j)/x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 然后编写用辛普森公式计算数值函数的定积分的M文件如下： function area=simp(y,h) k=length(y); y1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(y1); y2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(y2); area=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*h/3 end 项目一： x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y1 0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6 y2 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线，求加工端面的面积。 问题分析： 我们从题目中可以啊看到，题目中只给出了机翼端面的轮廓线上的少量的点，如果只是根据这些点来画出轮廓线，那么画出来的轮廓线一定是不光滑的。而我们知道，在工程中，尽量要求加工物品的轮廓线光滑，符合实际需求，这就要求我们需要使用插值的方法对数据进行扩充。 而根据三种插值方法：拉格朗日插值，分段线性插值和三次样条插值的特性，由于在题目所给的要求中，我们并不需要对误差进行定量的估计，所以我们选用光滑性最好的三次样条插值，同时使用拉格朗日插值对所得结果进行比较。 同时，对于机翼端面的面积估计，我们可以采用梯形公式和辛普森公式进行求和，对所得结果进行比较。 解决方案： 现编写主程序如下： x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y1=[0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6]; y2=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x1=0:0.1:15; u1=lagr(x,y1,x1); u2=lagr(x,y2,x1); v1=spline(x,y1,x1); v2=spline(x,y2,x1); plot(x,y1,k,x,y2,k) title(未插值得到的轮廓线) plot(x1,u1,r,x1,u2,r) title(拉格朗日插值轮廓曲线) plot(x1,v1,g,x1,v2, g) title(三次样条插值轮廓曲线) plot(x,y1,k,x,y2,k,x1,u1,r,x1,u2,r) title(拉格朗日插值与未插值轮廓曲线比较) plot(x,y1,k,x,y2,k,x1,v1,g,x1,v2,g) title(三次样条插值与未插值轮廓曲线比较) plot(x,y1,k,x,y2,k,x1,v1,g,x1,v2,g,x1,u1,r,x1,u2,r) title(三种轮廓曲线比较) 得到结果如图： 从图形结果上看，未插值时由于数据点间隔较大曲线非常不光滑，利用拉格朗日插值进行运算后，得到的曲线在x值较小时出现了很大的偏差，这是由于拉格朗日插值不收敛的缘故，这在实际中是不可取的。而利用三次样条插值进行运算时，则与原轮廓线吻合的很好，且各处光滑，满足实际加工需要，三次样条插值的优势在这时候就体现了出来。 故现利用梯形法和辛普森法计算三次样条插值所得到轮廓的面积。 继续编写程序如下： area1=trapz(x1,v1-v2) area2=simp(v1-v2,0.1) 得到结果： area1 = 11.3444 area2 = 11.3460 由于梯形公式是2阶收敛的，而辛普森公