数学物理方法分离变量法精读.pptx

付红斐 计算与应用数学系 数 学 物 理 方 法 Mathematical Physics Equations 第二章 分离变量法 上一章中我们具体讨论了定解问题的提法，本章考虑如何求解定解问题。 求解定解问题的关键：设法将PDE转化为ODE。 分离变量法是最常用的转化手段之一。本章主要讲有界空间的分离变量法，也称Fourier级数法。 主要内容 1. 基础知识 2. 齐次方程+齐次边界条件 3. 非齐次方程 4. 非齐次边界条件 1.基础知识 本节补充介绍几类ODE的解法、Fourier级数相关知识。 一、Fourier级数 3. 正弦级数和余弦级数 二、几类ODE解法 2.齐次方程和齐次边界条件 2.1 波动方程混合问题 一. 模型描述 设长度为L细弦，两端固定，作微小横向振动。已知初始位移为φ(x)，初始速度为ψ(x)，试求弦的振动规律。 三. 模型求解 齐次方程、齐次边条件，可运用叠加原理。 ？ 从而特征值与特征函数为 Step 3. 解不构成特征值问题的ODE 即非零特解为 代入初始条件，得 小注： 上述所求解严格来说只是形式解，而非古典解。因叠加原理所需条件不一定成立，这里只讨论形式解； 分离变量法求解定解问题的关键在于特征函数的确定和叠加原理的运用； 方程和边界条件必须是齐次的； 从理论上讲，分离变量法之所以成功，主要在于 1)特征值问题有解； 2) 特征函数是完备的、正交的，且定解问题的解可以按特征函数进行展开。 2.2 热传导方程混合问题 三. 模型求解 齐次方程、齐次边条件，可运用叠加原理。 Step 3. 解不构成特征值问题的ODE 即非零特解为 由初始条件，得 及其边界条件。 2.3 Laplace方程边值问题 模型求解 所求解区域为圆域，不能直接分离变量。考虑坐标变换。 有界性条件 周期性条件 故特征值与特征函数分别为 由于上述方程为欧拉方程，故 从而 代入边界条件，得