体育中的数学模型精读.pptx

吴孟达苏州·西交利物浦2014-6体育科学的研究中，也有大量的数学建模问题，例如：棒球的最佳击球点问题，滑板滑雪赛道的设计，划艇比赛中运动员的体力分配，NBA赛程的科学性评价，体操团体赛出场队员的最佳组合等等，本讲重点介绍一个案例：越野长跑团体赛的排名规则，通过对排名规则的公平性的不同度量，可以得到不同的结果。【本节简介】肯尼斯·阿罗（KennethJ.Arrow,1921-）美国著名数理经济学家。1951年出版著名著作《社会选择和个人价值》。最著名的工作：“阿罗不可能定理”。1972年荣获诺贝尔经济学奖。Arrow公理公理1（选举的完全性）选民对候选人的任何一种排序都是允许的。公理2（个体选择与群体选择的正相关性）如果对所有选民i，都有（x＞y）i，那么，应当有（x＞y）。此性质又称为Pareto效应。公理3（无关候选人的独立性，Independentofirreletivealternatives）设x，y是任意两个候选人，若在两次投票中，每个选民对x，y的相对排序都不变，那么在两次选举结果中，x，y的相对排序也应不变。公理4（非独裁性，Non-dictatorial）不存在这样的选民i，使得Arrow定理对于至少有三名候选人和两名选民的投票，不存在满足Arrow公理的选举规则。阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人意向、并且不依赖程序的多数规则的投票方案。或者说，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人意向来达到合意的公共决策。完美无缺的程序民主不存在！“人们一直以来都在谋求理想的民主制度，即完美的选举制度……但Arrow却证明要想寻找这样一个完美的理想选举方案是不可能的，历史上不知有多少伟大的人物都在寻找这种完美民主，并留下记录，但他们实际上都是在寻找一个逻辑上自相矛盾的怪物……。从Arrow以后关于民主的理论将完全改写。”　　　　　　　　　　　——美国经济学家萨缪尔森越野长跑团体赛竞赛规则的公平性越野长跑团体赛的竞赛规则如下：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的5个队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分，然后根据各参赛队得分（由小到大）的顺序决定比赛排名（简称5-2规则）。试讨论该竞赛规则的合理性并提出改进方案。一、比赛公平性的几个判断准则A与B两个队的相对顺序不应当依赖于任何其他队的表现。一个队如果在与任一个队的两两对决中获胜，则这个队应当是整个比赛的优胜者。准则一：二元独立性（binaryindependence）准则二：孔多塞准则（CondorcetCriterion）如果A队是一次竞赛的获胜者。假如在另一次竞赛中所有的参赛队与选手都不变，A队的一个选手a提高了名次，而除a之外的其他所有参赛选手之间的相对顺序都不变，则A队仍应是获胜者。如果A、B两队各有m个队员参赛，且有aibi（i=1,2，…m），则A队排名应优于B队。准则三：单调性（MonotonicityCriterion）准则四：帕累托条件（ParetoCondition）孔多塞（MarieJeanAntoineNicolasdeCaritat,marquisdeCondorcet，1743年－1794年）●数学家、哲学家。●1782年当选法兰西科学院院士。●在生命最后时刻，完成了自己的思想绝唱——《人类精神进步史表纲要》。二、（5,2）规则的公平性判断我们按照上述准则来判断（5，2）规则的公平性。例1设一次越野团体赛有33个队231名队员参加，其中3个队的队员成绩如下：风队：1，2，3，8，27，36，45（41）越野者队：4，12，15，24，35，49，55（90）酷跑队：10，11，13，28，30，43，69（92）不算风队1，8，11，20，30，43，48（70）6，7，9，23，25，37，62（70）仅算两队1，4，6，7，10，12，13（28）2，3，5，8，9，11，14（27）结论1（5,2）规则不满足二元独立性。例2设一次比赛有A、B、C、D4支队伍参加，成绩如下：A：12325262728（57）B：491114161820（54）C：571213192122（56）D：681015172324（56）　　B队第一，A队垫底！但在与A队两两对决中，A队前5名名次为：1231112，得分29，而其他队名次都是4~10，得分30,A队胜！结论2（5,2）规则不满足孔多塞准则。　　　结论3（5,2）规则满足单调性。结论4（5,2）规则满足帕累托条件。三、其他几种竞赛规则评价考虑以下几种其他规则：1、名次加权（m，l）规则；名次差异非均匀化。2、迭代（m，0）规则；每次淘汰最后一名，然后重新计算名次。3、顺序孔多赛规则；按任意顺序，前两队对决，胜者与下一队对决，如此进行下去，最后留下的队就是获