物理方程精读.pptx

第七章 数学物理定解问题 一个具体物理问题，物体的温度分布 1 物理方程的导出 1 均匀弦微小振动 1将物体横向位移u作为研究对象 2 条件：弦柔软，忽略重力 3 物理规律：牛顿第二定律 自由振动 受迫振动 2 (二）均匀杆的纵振动 注意每一点相对伸长不一样 3 基本公式 假设导线间的电压为v v v+dv 4 电容流过的电流为 电导流过的电流为 电阻和电感会引起压降 化简 5 整理得到 同理 导线电阻R和线间电漏G很小的传输线叫作理想传输线.对于理想传输线 6 (四）均匀薄膜的微小横振动 这小块膜在x和x+dx两边所受横向作用力是 7 用ρ表示单位面积的薄膜的质量，可以写出这小块膜的横向运动方程 即 用二维拉普拉斯符号表示 如果薄膜上有横向外力作用，记单位面积上的横向外力为f(x,y,t)重 复上述步骤，则得薄膜的受迫振动方程 8 (五）流体力学与声学方程 流体力学中研究的物理量是流体的流动速度v、压强p和密度ρ 记空气处于平衡状态时的压强和密度分别为P0，ρ0，并把声波中的空气密 度相对变化量(p-p0)/p0记为s 在近似条件下有 声波方程 9 (六）电磁波方程 利用电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式，可导出真空中的电磁波方程， 在国际单位制下，方程为 10 (七）扩散方程 由于浓度（单位体积中的分子数或质量）的不均匀，物质从浓度大的地方 向浓度小的地方转移，这种现象叫作扩散. 研究对象：浓度u(x,y,z,t) 扩散运动的起源是浓度的不均匀.浓度不均匀的程度可用浓度梯度 表示 扩散流强度q:单位时间里通过单位横截面积的原子数或分子数或质量 扩散定律即斐克定律 比例系数D叫作扩散系数. 11 x方向流入的粒子数 三个方向总流入量为 12 根据粒子数（或质量）守恒定律，如果平行六面体中没有源和汇(其他物质 能转化成这种物质的粒子称为源，这种物质的粒子转化成其他物质称为汇）， 则平行六面体中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数，即 如果扩散系数在空间中是均匀的 一维 13 有源或汇的扩散问题 (1)扩散源的强度（单位时间内单位体积中产生的粒子数）为F(x,y,z,t)与浓度u无关.这时 (2)扩散源的强度与浓度u成正比. 例如235u原子核的链式反应使中子数增殖，中子浓度增殖的时间变化率为 b2u，比例系数b20,即与中子浓度u成正比，这是有源的情况.一维和三维 扩散方程应分别修改为 14 (八)热传导方程 由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫 作热传导. 研究的对象：u温度 在热传导问题中研究的是温度在空间中的分布和在时间中的变化心热传导的起源是温度的不均匀.温度不均匀的程度可用温度梯度表 示.热传导的强弱可用热流强度q,即单位时间通过单位横截面积的热量 表示. 物理规律为热传导定律 比例系数k叫作热传导系数.不同物质的热传导系数各不一样. 15 推导过程同扩散方程相同 有热源时，热源定义：单位时间在单位体积中产生的热量 三维 16 (九）稳定浓度分布 如果扩散源强度F(x,y,z)不随时间变化 ，空间中各点的浓度不再随时间变化 这是泊松方程.如没有源，则是拉普拉斯方程 (十）稳定温度分布 如果热源强度不随时间变化，热传导持续进行下去，到稳定状态，空间中各点的温度不再随时间变化，即ut=0,于是，成为 也是泊松方程，如没有热源，也简化为拉普拉斯方程 17 (十一) 静电场 从电磁学知道，静电场是有源无旋场，电场线不闭合，始于正电荷，终于负电荷，反映静电场基本性质的是高斯定理和电场强度的无旋性.据此，我们来导出描述静电场的数学物理方程. 面积分改为体积分 由高斯定理 上式对任意的空间T都成立，这只能是由于两边的被积函数相等 18 此外，静电场的电场强度E是无旋的，即 电场强度E是无旋的，必然有势函数V(x,y,z) 势函数V满足方程 静电场的电势函数V应当满足的静电场方程，它是泊松方程。 如果在静电场的某一区域里没有电荷，即ρ=0,则电势函数V的静电场 方程在该区域上简化为拉普拉斯方程 19 用均质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程. 补充例题 S1 x x+dx S2 满足动力学方程 20 均质导线电阻率为r，通有均匀分布的直流电，电流密度为试推导导线内的热传导方程 . 补充例题 x x+dx S 满足热学方程 21 定解条件 研究问题，不能脱开“历史”和“环境”，即初始条件和边界条件 (一）初始条件 对于输运过程（扩散、热传导），初始状态指的是所研究的物理量u的初始 分布（初始浓度分布